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Lexikon der Mathematik: reguläres Maß

Maß mit zusätzlicher Eigenschaft.

Es sei Ω Hausdorffraum, \( {\mathcal B} (\Omega )\) die Borel-σ-Algebra in Ω, und μ ein Maß auf einer σ-Algebra \({\mathcal{A}}\supseteq {\mathcal B} (\Omega )\). Eine Menge \(A\in {\mathcal{A}}\) heißt von innen regulär, falls \begin{eqnarray}\mu (A)=\sup \{\mu (K)|K\subseteq A,K\,\text{kompakt}\},\end{eqnarray} von außen regulär, falls \begin{eqnarray}\mu (A)=\inf \{\mu (O)|O\supseteq A,O\,\text{offen}\},\end{eqnarray} und regulär, falls A von innen und von außen regulär ist.

μ heißt von innen regulär bzw. von außen regulär bzw. regulär, falls alle \(A\in {\mathcal{A}}\) von innen regulär bzw. von außen regulär bzw. regulär sind.

Ist μ endliches Maß, so ist \(\{A\in {\mathcal{A}}|A\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\}\) ein σ-Mengenring. Ist μ auf \( {\mathcal B} (\Omega )\) endlich, und sind alle offenen Mengen von innen regulär, so ist μ regulär.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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