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Lexikon der Mathematik: Regularität kohärenter Garben

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Sei A ein Noetherscher Ring und \( {\mathcal F} \) eine kohärente Garbe auf \({{\mathbb{P}}}_{A}^{n}\) (projektives Spektrum).

Nach Serre ist dann \({H}^{q}({{\mathbb{P}}}_{A}^{n}, {\mathcal {F}} (m))=0\) für m ≫ 0 und q > 0, und \( {\mathcal F} (m)\) wird durch globale Schnitte erzeugt.

Die Garbe heißt m-regulär, wenn \begin{eqnarray}{H}^{q}({{\mathbb{P}}}_{A}^{n}, {\mathcal F} (m-q))=0\end{eqnarray} für alle q > 0. Dann läßt sich zeigen:

  1. Wenn \( {\mathcal F} \)m-regulär ist, dann ist \( {\mathcal F} (m+1)\)-rregulär.
  2. \( {\mathcal F} (m)\) wird durch globale Schnitte erzeugt.
  3. Sei ε eine kohärente Garbe auf \({{\mathbb{P}}}_{k}^{n}\) (k ein Körper) und \(P:{\mathbb{Z}}\to {\mathbb{Z}}\) eine polynomiale Funktion. Dann gibt es eine nur von ε und ρ abhängige ganze Zahl m0 so, daß alle kohärenten Untergarben \( {\mathcal H} \subset \varepsilon \) mit dem / Hilbert-Polynom P m0-regulär sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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