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Lexikon der Mathematik: Regularitätsbedingungen von Oberflächen

Bedingungen an Ränder, unter denen es möglich ist, die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Randwertaufgaben zu beweisen.

Als Beispiel sei das äußere Dirichlet-Problem in der zweidimensionalen Ebene für einen beschränkten Bereich B mit mit dem Rand S betrachtet: Auf S sei eine beschränkte Funktion f vorgegeben. Als Oberfunktion bezeichnet man jede Funktion, die im Abschluß \(\bar{B}\) stetig, im Inneren superharmonisch, und auf dem Rand nicht kleiner als f ist.

Im Inneren haben alle Oberfunktionen eine untere Grenze u. Diese Funktion ist im Inneren harmonisch. Strebt u für eine Punktfolge, die aus dem Inneren gegen einen Randpunkt Pr konvergiert, bei beliebigem stetigen f gegen f(Pr), dann heißt Pr regulärer Randpunkt, im anderen Fall spricht man von einem irregulären Randpunkt. Ein Rand, dessen Punkte regulär sind, heißt regulärer Rand.

Diese Begriffe lassen sich auf den mehrdimensionalen Fall ausdehnen.

Für einen Bereich mit regulärem Rand ist das äußere Dirichlet-Problem eindeutig lösbar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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