Ellipse in der komplexen Ebene, mit deren Kenntnis Aussagen über die Güte bester polynomialer Approximationen auf reellen Intervallen gewonnen werden können.

Es sei \({\mathcal{A}}[-1,1]\) die Menge der Funktionen f, für die ein das Intervall [−1, 1] enthaltendes Gebiet G in der komplexen Ebene existiert, so daß f auf G holomorph ist. Ist \(f\in {\mathcal{A}}[-1,1]\), so existieren Ellipsen \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{r}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z-1|+|z+1|=r+r\frac{1}{r}\}\end{eqnarray} mit Brennpunkten −1,1, Hauptachsenradius \(\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\) und Nebenachsenradius \(\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\) so, daß \(f{|}_{{\varepsilon }_{r}}\) holomorph in deren Innerem int ε_r ist. Ist für fest vorgegebenes \(f\in {\mathcal{A}}[-1,1]\)\begin{eqnarray}\kappa =\sup \{r:f{|}_{{\varepsilon }_{r}}\text{holomorph in int}\,{\varepsilon }_{r}\},\end{eqnarray} dann heißt ε_κ Regularitätsellipse von f.

Der folgende Satz von S.N.Bernstein aus dem Jahre 1926 zeigt, daß die Minimalabweichung der polynomialen Approximation \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{E}_{n}(f)= & \inf \{\sup \{|f-p)(t)|:t\in [-1,1]\}: \\ & p\,\text{ist}\ \text{Polynom}\ \text{vom}\ \text{Grad}\ n\}\end{array}\end{eqnarray} auf dem Intervall [−1, 1] abgeschätzt werden kann durch Kenntnis von κ und dem Verhalten von f auf dem Rand der Regularitätsellipse.

Es seien r > 1 und \(f\in {\mathcal{A}}[-1,1]\)holomorph in int ε_r, sowie stetig auf dem Rand von ε_r. Weiter sei \({M}_{r}=\max \{|f(z)|:z\in {\varepsilon }_{r}\}\). Dann gilt: \begin{eqnarray}{E}_{n}(f)\le \frac{2{M}_{r}}{{r}^{n}(r-1)}.\end{eqnarray}