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Lexikon der Mathematik: Reinhardtsches Gebiet

wichtig für die Charakterisierung von Konvergenzgebieten von Potenzreihen in mehreren Variablen.

Die Punktmenge \begin{eqnarray}{{\mathbb{R}}}_{+}^{n}=\{({r}_{1},\ldots,{r}_{n}\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{r}_{j}\ge 0,1\le j\le n\}\end{eqnarray} wird als absoluter Raum bezeichnet. Die natürliche Projektion \begin{eqnarray}\tau :{{\mathbb{C}}}^{n}\to {{\mathbb{R}}}_{+}^{n},z\mapsto (|{z}_{1}|,\ldots,|{z}_{n}|)\end{eqnarray} ist stetig, eigentlich, offen und surjektiv. Für jedes \(\varrho \in {{\mathbb{R}}}_{+}^{n}\) ist das inverse Bild \({\tau }^{-1}(\varrho )=:T(\varrho )\) ein reeller n-dimensionaler Torus. Ein Bereich (Gebiet) \(G\in {{\mathbb{C}}}^{n}\) heißt Reinhardtscher Körper (Reinhardtsches Gebiet), wenn gilt \(G={\tau }^{-1}\tau (G)\). Ein Reinhardtscher Körper G heißt vollständig (vollkommen), wenn der Polyzylinder \begin{eqnarray}P(\tau (z))=\{\zeta \in {{\mathbb{C}}}^{n};|{\zeta }_{j}|\lt |{z}_{j}|,1\le j\le n\}\end{eqnarray} in G ist für alle \(z\in G\mathop{\cap }\limits^{}{({{\mathbb{C}}}^{* })}^{n}\). Ein Reinhardtscher Körper G heißt eigentlich, wenn gilt:

  1. G ist ein Gebiet, und
  2. \(G=\varnothing \) oder G = 0.

Jeder vollständige Reinhardtsche Körper ist eigentlich. Ein Reinhardtscher Körper heißt logarithmisch-konvex, wenn \begin{eqnarray}(\mathrm{log}|{z}_{1}|,\ldots,\mathrm{log}|{z}_{n}|);\,\,z\in G\mathop{\cap }\limits^{}{({{\mathbb{C}}}^{* })}^{n}\end{eqnarray} eine konvexe Teilmenge von ℝn ist. Zu jedem Reinhardtschen Körper G gibt es einen kleinsten logarithmisch-konvexen vollständigen Reinhardtschen Körper, der G enthält, genannt die vollständige Hülle \(\check{G}\) von G. Es gilt \begin{eqnarray}\check{G}=\mathop{\bigcup }\limits_{z\in G\mathop{\cap }\limits^{}{({{\mathbb{C}}}^{* })}^{n}}P(\tau (z)).\end{eqnarray}

Jedes logarithmisch-konvexe vollständige Reinhardtsche Gebiet ist ein Konvergenzgebiet einer Potenzreihe. Umgekehrt ist jedes Konvergenzgebiet einer Potenzreihe ein logarithmisch-konvexes vollständiges Reinhardtsches Gebiet.

Da man für n ≥ 2 die Mengen G und \(\check{G}\) so wählen kann, daß \(\check{G}\ne G\) ist, zeigt der folgende Satz einen wesentlichen Unterschied zur Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, wo es zu jedem Gebiet G eine auf G holomorphe Funktion gibt, die in kein echtes Obergebiet fortsetzbar ist.

Sei G ein eigentlicher Reinhardtscher Körper und f holomorph in G. Dann existiert genau eine holomorphe Funktion F in \(\check{G}\)mit F | G = f.

Ein wichtiges Beispiel für ein solches Mengenpaar \((\check{G},G)\) mit \(\check{G}\ne G\) ist die euklidische Hartogs-Figur (allgemeine Hartogs-Figur) im ℂn.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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