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Lexikon der Mathematik: rektifizierende Ebene

die zum Hauptnormalenvektor \({\mathfrak{n}}(t)\) einer Raumkurve α senkrechte Ebene durch den Kurvenpunkt α(t).

Die rektifizierende Ebene ist die lineare Hülle des Binormalen- und des Tangentenvektors a′(t).

Es sei \({\alpha }_{{s}_{0}}^{* }(h)\) die Projektion der Kurve \begin{eqnarray}h\to \alpha ({s}_{0}+h)\end{eqnarray} in die rektifizierende Ebene durch den Punkt α(s0). Aus der kanonischen Entwicklung folgt, daß \({\alpha }_{{s}_{0}}^{* }(s)\) in dritter Näherung durch die parametrische Gleichung \begin{eqnarray}{\alpha }_{{s}_{0}}^{* }(h)=x(h)\,{\mathfrak{n}}({s}_{0})+z(h)\,{\mathfrak{b}}({s}_{0})\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}y(h)=\frac{\kappa ({s}_{0})}{2}{h}^{2}+\frac{{\kappa }^{\prime}({s}_{0})}{6}{h}^{3},z(h)=\frac{\kappa ({s}_{0})\tau ({s}_{0})}{6}{h}^{3}\end{eqnarray} gegeben ist. Daraus ist ersichtlich, daß \({\alpha }_{{s}_{0}}^{* }(s)\) als ebene Kurve in der rektifizierenden Ebene durch die Neilsche Parabel \begin{eqnarray}{z}^{2}=\frac{2{\tau }^{2}({s}_{0})}{9\kappa ({s}_{0})}{y}^{3}\end{eqnarray} approximiert wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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