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Lexikon der Mathematik: rekurrenter Punkt

Punkt x0M für ein topologisches dynamisches System \((M,{\mathbb{R}},\Phi )\) mit einem metrischen Raum M, für den gilt: Für alle ε > 0 existiert ein T > 0 so, daß für alle \(\tau \in {\mathbb{R}}\) der Orbit \({\mathcal{O}}({x}_{0})\) in der ε-Umgebung von \begin{eqnarray}\{\Phi ({x}_{0},t)\,|\,t\in [\tau,\tau +T],\,t\in {\mathbb{R}}\,\text{geeignet}\}\end{eqnarray} enthalten ist.

Ein Punkt x0M heißt fast-rekurrent, falls für alle ε > 0 die Menge \begin{eqnarray}\{t\,|\,t\in {\mathbb{R}},\Phi ({x}_{0},t)\in {U}_{\varepsilon }({x}_{0})\}\end{eqnarray} (mit der ε-Umgebung Uε(x0) von x0) relativ dicht in ℝ liegt.

Jeder rekurrente Punkt ist fast-rekurrent, fastperiodische Punkte sind rekurrent. Rekurrente Punkte sind Poisson-stabil. In einem vollständigen metrischen Raum M ist ein xM genau dann rekurrent, falls \(\overline{{\mathcal{O}}(x)}\) kompakte minimale Menge ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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