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Lexikon der Mathematik: Rekurrenz der Brownschen Bewegung

der Sachverhalt, daß jeder Punkt x ∈ ℝ von P-fast allen Pfaden tBt(ω) einer auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,{\mathfrak{A}},P)\) definierten normalen eindimensionalen Brownschen Bewegung \({({B}_{t})}_{t\ge 0}\) unendlich oft erreicht wird, da die Menge \begin{eqnarray}\{t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}:{B}_{t}(\omega )=x\}\end{eqnarray} für P-fast alle ωΩ unbeschränkt ist.

Die entsprechende Aussage für eine d-dimensionale Brownsche Bewegung mit d ≥ 2 ist falsch. Im Falle d ≥ 2 gilt sogar:

Ist \(x\in {{\mathbb{R}}}^{d}\)beliebig und \({({B}_{t}^{(d)})}_{t\ge 0}\)eine d-dimensionale Brownsche Bewegung mit einem von x verschiedenen Startpunkt, so gibt es für P-fast alle ωΩ kein t mit \({B}_{t}^{(d)}(\omega )=x\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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