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Lexikon der Mathematik: rekursive Analysis

ein Teilgebiet der Analysis, das sich damit befaßt, inwieweit die Beweise von Sätzen aus der Analysis in einer konstruktiven, berechenbaren Weise durchgeführt werden können (Berechnungstheorie).

Ein erster wichtiger Begriff in dieser Theorie ist der der berechenbaren Konvergenz. Eine Folge (αi), i ∈ ℕ, heißt berechenbar konvergent, wenn es zu jedem positiven rationalen ε = p/q ein n0 so gibt, daß \(|{\alpha }_{m}-{\alpha }_{n}|\lt \varepsilon \) für alle m, nn0, und wenn zusätzlich gilt, daß die Funktion (p, q) ↦ n0 berechenbar ist (berechenbare Funktion).

Eine reelle Zahl r heißt berechenbar, wenn es eine berechenbare rationale Zahlenfolge gibt, die berechenbar konvergiert, und deren Limes r ist. Beispiele für berechenbare reelle Zahlen sind e und π.

Da es aber überabzählbar viele reelle Zahlen gibt und nur abzählbar viele Berechnungsverfahren, kann nur eine abzählbar unendliche Teilmenge der reellen Zahlen berechenbar sein.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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