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Lexikon der Mathematik: relatives projektives Spektrum

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Es sei X ein Schema und \begin{eqnarray}{\mathcal{S}}={{\mathcal{S}}}_{0}\oplus {{\mathcal{S}}}_{1}\oplus {{\mathcal{S}}}_{2}\oplus \cdots \end{eqnarray} eine quasikohärente Garbe von graduierten kommutativen \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Algebren. Das relative projektive Spektrum \(\text{Proj}({\mathcal{S}})\mathop{\to }\limits^{p}X\) ist das X-Schema mit der Eigenschaft, daß für affine offene Mengen \(U\subset X\text{gilt}\ {p}^{-1}(U)=\text{Proj(}{\mathcal{S}}(U)\text{)}\) (projektives Spektrum). Seine Konstruktion ergibt sich durch Verklebung der projektiven Spektren \(\text{Proj}({\mathcal{S}}({U}_{\alpha }))\) für eine offene affine Überdeckung {Uα} von X.

Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall \({\mathcal{S}}\) = Sym(ε), die symmetrische Algebra einer quasikohärenten Garbe ε auf X, in diesem Fall wird \(\text{Proj}({\mathcal{S}})\) auch mit \({\mathbb{P}}(\varepsilon )\) bezeichnet.

Analog zum projektiven Spektrum erhält man die quasikohärenten Garben \({\mathcal{O}}(n)\) und Produkt-Abbildungen \({\mathcal{O}}(n)\otimes {\mathcal{O}}(m)\to {\mathcal{O}}(n+m)\). Im Falle von \({\mathbb{P}}(\varepsilon )\) wird \({\mathcal{O}}(1)\) auch mit \({{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }(1)\) bezeichnet, in diesem Fall ist \({{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }(1)\) lokal frei vom Rang 1 mit einem ausgezeichneten Epimorphismus von Garben \({p}^{* }\varepsilon \to {{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }(1)\), und \begin{eqnarray}{\mathcal{O}}(m)={{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }{(1)}^{\otimes m},{\mathcal{O}}(-m)=\text{Hom}({\mathcal{O}}(m),{{\mathcal{O}}}_{{\mathbb{P}}(\varepsilon )})\end{eqnarray} (m > 0). Funktoriell ist \({\mathbb{P}}(\varepsilon )\to X\) durch folgende Eigenschaft charakterisiert: Für jedes X-Schema f : YX ist \begin{eqnarray}{\text{Hom}}_{X}(Y,{\mathbb{P}}(\varepsilon ))\simeq \{{\mathcal{G}}\subseteq {f}^{* }\varepsilon |{f}^{* }\varepsilon /{\mathcal{G}}\,\,\text{lokal frei vom Rang}\ 1\},\end{eqnarray} indem man jedem X-Morphismus φ den durch \({p}^{* }\varepsilon \to {{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }(1)\) induzierten Morphismus \begin{eqnarray}{f}^{* }\varepsilon ={(p\circ \varphi )}^{* }\varepsilon ={\varphi }^{* }({p}^{* }\varepsilon )\to {\varphi }^{* }{{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }(1)\end{eqnarray} (bzw. seinen Kern \({\mathcal{G}}\)) zuordnet. Speziell folgt hieraus für \( {\mathcal L} \in \text{Pic}(X)\) (Picard-Gruppe) ein kanonischer X-Isomorphismus \({\mathbb{P}}(\varepsilon \otimes {\mathcal L} )\simeq {\mathbb{P}}(\varepsilon )\) (mit \({{\mathcal{O}}}_{\varepsilon \otimes {\mathcal L} }(1)={p}^{* } {\mathcal L} \otimes {{\mathcal{O}}}_{\varepsilon }(1)\)).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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