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Lexikon der Mathematik: relatives Schema

ein Schema mit einer Zusatzeigenschaft.

Sei S ein Schema (z. B. Spec(ℤ) oder Spec(K), K ein Körper). Ein relatives Schema über S (oder S-Schema) ist ein Schema X zusammen mit einem ausgezeichneten Morphismus \(X\mathop{\to }\limits^{{p}_{X}}S\).

Ist \(Y\mathop{\to }\limits^{{p}_{Y}}S\) ein weiteres S-Schema, so bezeichnet \begin{eqnarray}{\text{Hom}}_{S}(Y,X)=X{(Y)}_{S}\end{eqnarray} die Menge aller S-Morphismen, d.h., Morphismen α : YX mit pxα = α = pY. Wenn Y = Spec(A) ist, schreibt man dafür auch X(A)s.

Die Zuordnung YX(Y)S (resp. AX(A)S) ist ein Kofunktor (resp. ein Funktor), durch den

X aufgrund der folgenden Tatsache eindeutig bestimmt ist: Für jeden Kofunktor F der Kategorie der S-Schemata in die Kategorie der Mengen ist die kanonische Abbildung \begin{eqnarray}\text{Hom}(X{(-)}_{S},F)\to F(X),\end{eqnarray} die jeder natürlichen Transformation \begin{eqnarray}\nu :X{(-)}_{S}\to F\end{eqnarray} das Element νX(idX) = ξF(X) zuordnet, eine Bijektion (die Umkehrabbildung ist \(\xi \mapsto \mathop{\xi }\limits^{}\) mit \({\mathop{\xi }\limits^{}}_{Y}(\alpha )=F(\alpha )(\xi )\) für \begin{eqnarray}\alpha \in X{(Y)}_{S}={\text{Hom}}_{S}(Y,X).)\end{eqnarray} Speziell ist also \begin{eqnarray}Hom(X{(-)}_{S},{X}^{\prime}{(-)}_{S})\cong \text{Hom}(X,{X}^{\prime}).\end{eqnarray}

Viele Eigenschaften eines S-Schemas X lassen sich auf diese Weise funktoriell charakterisieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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