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Lexikon der Mathematik: relatives Spektrum

Begriff aus der Theorie der Schemata.

Es seien X ein Schema und \({\mathcal{A}}\) eine Garbe von kommutativen \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Algebren, die als Modulgarbe über \({{\mathcal{O}}}_{X}\) quasikohärent ist. Das relative Spektrum Spec (\({\mathcal{A}}\)) ist ein Schema zusammen mit einem Morphismus p : Spec(\({\mathcal{A}}\)) → X, welches durch folgende Eigenschaft charakterisiert ist:

Für jedes X-Schema \(Y\mathop{\to }\limits^{q}X\) ist die induzierte Abbildung von \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\text{Hom}}_{X}(Y,\text{Spec}({\mathcal{A}}))\\ =\{\varphi :Y\to \text{Spec(}{\mathcal{A}})|p\circ \varphi =q\}\end{array}\end{eqnarray} in \begin{eqnarray}{\text{Hom}}_{{{\mathcal{O}}}_{X}-\text{Alg}}\text{(}{\mathcal{A}},{q}_{* },{{\mathcal{O}}}_{Y})\simeq {\text{Hom}}_{{{\mathcal{O}}}_{Y}-\text{Alg}}(q*,{\mathcal{A}},{{\mathcal{O}}}_{Y}),\end{eqnarray} die durch φp*(φ*) und \({p}_{* }{{\mathcal{O}}}_{Spec({\mathcal{A}})}={\mathcal{A}}\) gegeben ist, eine Bijektion.

Wenn X = Spec(B) ein affines Schema ist, so ist \({\mathcal{A}}\) von der Form à mit der B-Algebra \({\mathcal{A}}\)(X) = A(quasikohärente Garbe). In diesem Fall ist Spec(\({\mathcal{A}}\)) = Spec(A) und p der durch BA induzierte Morphismus.

Ein Spezialfall: Ist \( {\mathcal F} \) eine kohärente (oder quasikohärente) Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln und \({\mathcal{A}}\) = Sym(\( {\mathcal F} \)) die symmetrische Algebra, dann ist \({\mathcal{A}}\) quasikohärente Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Algebren. Spec(Sym(\( {\mathcal F} \))) wird mit \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\) bezeichnet. Da für \(Y\mathop{\to }\limits^{q}X\) gilt: \begin{eqnarray}q* Sym( {\mathcal F} )=\text{Sym}(q* {\mathcal F} )\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\text{Hom}}_{{{\mathcal{O}}}_{X}-\text{Alg}}\text{(Sym(}q* {\mathcal F} ),{{\mathcal{O}}}_{Y})\simeq {\text{Hom}}_{{{\mathcal{O}}}_{Y}}(q* {\mathcal F},{{\mathcal{O}}}_{Y}),\end{eqnarray} ist \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\mathop{\to }\limits^{p}X\) durch die Eigenschaft \begin{eqnarray}Ho{m}_{X}(Y,{\mathbb{V}}( {\mathcal F} ))\simeq Ho{m}_{{{\mathcal{O}}}_{Y}}(q* {\mathcal F},{{\mathcal{O}}}_{Y})\end{eqnarray} charakterisiert. Beschränkt man sich hierbei auf die Inklusionen UX offener Mengen (statt \(Y\mathop{\to }\limits^{q}X\)), so ergibt sich: \(\text{Hom}( {\mathcal F},{{\mathcal{O}}}_{X})=\mathop{ \check{\mathcal F} }\) ist die Garbe der lokalen Schnitte von \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\).

Ist speziell \( {\mathcal F} ={{\mathcal{O}}}_{X}^{p}={{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{1}+\cdots +{{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{n}\), so ist \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )=X\times {{\mathbb{A}}}^{n}\), und ist \({\mathcal F} ={{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{1}+\cdots +{{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{n}/{{\mathcal{O}}}_{X}{L}_{1}+\cdots +{{\mathcal{O}}}_{X}{L}_{q}\) mit \({L}_{j}=\sum ^{n}_{i=1}{a}_{ij}{T}_{i},{a}_{ij}\in {{\mathcal{O}}}_{X}(X)\), so ist \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\subset X\times {{\mathbb{A}}}^{n}\) das Nullstellenschema von L1 = ⋯ = Lq = 0.

Ein Analogon der Konstruktion \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\mathop{\to }\limits^{p}X\) gibt es auch für analytisch kohärente Garben auf komplexen Räumen, sodaß insbesondere für algebraische Schemata X über ℂ gilt: \begin{eqnarray}({\mathbb{V}}( {\mathcal F}^{an})\mathop{\to }\limits^{p}{X}^{an})=V{( {\mathcal F} )}^{an}\mathop{\to }\limits^{{p}^{an}}{X}^{an}.\end{eqnarray}

Gleiches gilt für die Konstruktion von Spec(\({\mathcal{A}}\)), wenn \({\mathcal{A}}\) analytisch kohärent ist. Aus der Eigenschaft „kohärent“ folgt, daß Spec(\({\mathcal{A}}\)) → X ein endlicher Morphismus ist. Jeder endliche Morphismus (über einem Noetherschen Schema oder komplexen Räumen) ist von dieser Form.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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