Lexikon der Mathematik: relatives Spektrum
Begriff aus der Theorie der Schemata.
Es seien X ein Schema und \({\mathcal{A}}\) eine Garbe von kommutativen \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Algebren, die als Modulgarbe über \({{\mathcal{O}}}_{X}\) quasikohärent ist. Das relative Spektrum Spec (\({\mathcal{A}}\)) ist ein Schema zusammen mit einem Morphismus p : Spec(\({\mathcal{A}}\)) → X, welches durch folgende Eigenschaft charakterisiert ist:
Für jedes X-Schema \(Y\mathop{\to }\limits^{q}X\) ist die induzierte Abbildung von
Wenn X = Spec(B) ein affines Schema ist, so ist \({\mathcal{A}}\) von der Form à mit der B-Algebra \({\mathcal{A}}\)(X) = A(quasikohärente Garbe). In diesem Fall ist Spec(\({\mathcal{A}}\)) = Spec(A) und p der durch B → A induzierte Morphismus.
Ein Spezialfall: Ist \( {\mathcal F} \) eine kohärente (oder quasikohärente) Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Moduln und \({\mathcal{A}}\) = Sym(\( {\mathcal F} \)) die symmetrische Algebra, dann ist \({\mathcal{A}}\) quasikohärente Garbe von \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Algebren. Spec(Sym(\( {\mathcal F} \))) wird mit \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\) bezeichnet. Da für \(Y\mathop{\to }\limits^{q}X\) gilt:
Ist speziell \( {\mathcal F} ={{\mathcal{O}}}_{X}^{p}={{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{1}+\cdots +{{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{n}\), so ist \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )=X\times {{\mathbb{A}}}^{n}\), und ist \({\mathcal F} ={{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{1}+\cdots +{{\mathcal{O}}}_{X}{T}_{n}/{{\mathcal{O}}}_{X}{L}_{1}+\cdots +{{\mathcal{O}}}_{X}{L}_{q}\) mit \({L}_{j}=\sum ^{n}_{i=1}{a}_{ij}{T}_{i},{a}_{ij}\in {{\mathcal{O}}}_{X}(X)\), so ist \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\subset X\times {{\mathbb{A}}}^{n}\) das Nullstellenschema von L1 = ⋯ = Lq = 0.
Ein Analogon der Konstruktion \({\mathbb{V}}( {\mathcal F} )\mathop{\to }\limits^{p}X\) gibt es auch für analytisch kohärente Garben auf komplexen Räumen, sodaß insbesondere für algebraische Schemata X über ℂ gilt:
Gleiches gilt für die Konstruktion von Spec(\({\mathcal{A}}\)), wenn \({\mathcal{A}}\) analytisch kohärent ist. Aus der Eigenschaft „kohärent“ folgt, daß Spec(\({\mathcal{A}}\)) → X ein endlicher Morphismus ist. Jeder endliche Morphismus (über einem Noetherschen Schema oder komplexen Räumen) ist von dieser Form.
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