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Lexikon der Mathematik: relativistische Quantenmechanik

Formulierung einer Gleichung für die Wellenfunktion, die bezüglich der Lorentz-Transformationen (Lorentz-Gruppe) forminvariant ist.

Ausgangspunkt war die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen. Sie ist nicht forminvariant gegen Lorentz-Transformationen. Nach dem Vorbild der nicht-relativistischen Quantenmechanik geht man von der relativistischen kinetischen Energie E (Feinstruktur der Energieniveaus) aus, um eine solche Gleichung zu erhalten. Es gilt \begin{eqnarray}{E}^{2}/{c}^{2}={m}_{0}^{2}{c}^{2}+{\delta }_{kl}{p}^{k}{p}^{l}.\end{eqnarray}

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, \begin{eqnarray}E=\pm \sqrt{{m}_{0}^{2}{c}^{4}+{\delta }_{kl}{p}^{k}{p}^{l}{c}^{2}}.\end{eqnarray}

Der Übergang zur Quantenphysik ergäbe sich nun durch die Ersetzungen \begin{eqnarray}E\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\ \text{}\text{}\ \text{}\text{}\ \text{und}\ \text{}\text{}\ \text{}\text{}\ {p}_{k}\to \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial {x}^{k}}.\end{eqnarray}

Dabei stört aber zum einem, daß man Gründe für den Ausschluß der negativen Energie finden muß, und zum anderen, daß der Wurzeloperator „unbequem“ ist.

Von der Wurzel kann man sich dadurch befreien, daß man die Operatoren in die Gleichung für E2 einsetzt. Dadurch entfernt man sich aber beträchtlich von der Schrödinger-Gleichung, weil man nun eine Gleichung für die Wellenfunktion bekommt, die die zweite Ableitung der Wellenfunktion von der Zeit enthält. Dadurch wird die Wahrscheinlichkeitsinterpretation unmöglich, weil die entsprechende Dichte auch negative Werte annehmen kann. Dieses Problem wird mit der Dirac-Gleichung umgangen. Diese Gleichung befreit aber nicht von der Notwendigkeit, ein Verständnis für die Lösungen mit negativer Energie zu finden. Dies gelang Dirac mit der Löchertheorie. Mit der Einführung der Löchertheorie wurde klar, daß man keine relativistische Quantenmechanik für ein Teilchen formulieren kann.

Die Diracsche Gleichung ist eine speziell-relativistische Gleichung für Elektronen und ihre Antiteilchen, die Positronen. Entsprechende Gleichungen gibt es für auch andere Teilchen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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