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Lexikon der Mathematik: Relaxation

eine Technik, um aus einer Fixpunktiteration \begin{eqnarray}{x}^{(k+1)}=T{x}^{(k)}+f\end{eqnarray} zur Lösung eines linearen Gleichungssystems \begin{eqnarray}Ax=b\end{eqnarray} durch Einführung eines Relaxationsparameters ω eine ganze Klasse von Iterationsverfahren zu gewinnen, welche (so hofft man) bei geeigneter Wahl von ω besser konvergieren als das ursprüngliche Verfahren.

Anstelle von x(k+1) = Tx(k) + f verwendet man als Iterationsvorschrift \begin{eqnarray}{x}^{(k+1)}=(1-\omega ){x}^{(k)}+\omega (T{x}^{(k)}+f).\end{eqnarray}

Eine Fixpunktiteration x(k+1) = Tx(k) + f konvergiert genau dann gegen die Lösung des Gleichungssystems x = Tx + f, wenn der Spektralradius ϱ von T kleiner als 1 ist: \begin{eqnarray}\varrho (T)=\max \{|\lambda |:\lambda \,\text{Eigenwert von}\ \ T\}\lt 1.\end{eqnarray}

Man versucht nun, ω so zu bestimmen, daß schnellstmögliche Konvergenz vorliegt, d. h. \begin{eqnarray}\min\limits_{\omega }\{\varrho (I+\omega (T-I))\lt 1\}.\end{eqnarray}

Diese Technik wird insbesondere beim Gauß-Seidel-Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung eingesetzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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