Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Rényi-Dimension

q-Dimension, Beispiel einer fraktalen Dimension.

Für n ∈ ℕ sei μ ein Maß im ℝn mit μ(ℝn) = 1 und beschränktem Träger S. \({\{{B}_{i}^{\delta }\}}_{i\in {\mathbb{N}}}\) seien diejenigen Gitterwürfel, die nach Einteilung von ℝn in n-dimensionale Würfel der Seitenlänge δ > 0 den Träger S schneiden. Für q ∈ ℝ+ \ {1} ist die Rényi-Dimension definiert durch \begin{eqnarray}{\dim }_{{R}_{q}}S:=\frac{1}{1-q}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\delta \to 0}\frac{\mathrm{log}\sum _{i}{(\mu ({B}_{i}^{\delta }))}^{q}}{\mathrm{log}\,{\delta }^{-1}}.\end{eqnarray}

Rényi führte diese Dimension mit dem Ziel der Verallgemeinerung anderer fraktaler Dimensionsbegriffe ein.

Für F ⊂ ℝn gelten die folgenden Beziehungen mit der Kapazitätsdimension, der Informationsdimension, und der Korrelationsdimension: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\dim_{R_0} F & = &\dim_{Kap} F,\\ \lim\limits_{q\rightarrow 1}\dim_{R_q} F & = &\dim_{I} F, \,\,\,und\\ \dim_{R_2} F & = &\dim_{Kor} F\end{array}\end{eqnarray}

Daraus folgt die Ungleichung \begin{eqnarray}{\dim }_{Kor}F\le {\dim }_{I}F\le {\dim }_{Kap}.\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Artikel zum Thema

Partnervideos