Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Residuum

zentraler funktionentheoretischer Begriff.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, z0G und f eine in G \ {z0} holomorphe Funktion. Dann besitzt f eine Laurent-Entwicklung \begin{eqnarray}f(z)=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=-\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n},\end{eqnarray} die in \begin{eqnarray}{\dot{B}}_{r}({z}_{0})=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt |z-{z}_{0}|\lt r\}\end{eqnarray} konvergiert, wobei r > 0 derart, daß Br(z0) ⊂ G. Der Koeffizient a−1 heißt das Residuum von f an z0 und wird mit Res (f, z0) bezeichnet.

Ist 0 < ϱ < r und Sϱ die einmal positiv durchlaufene Kreislinie mit Mittelpunkt z0 und Radius ϱ, so gilt \begin{eqnarray}{a}_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{S}_{e}}f(\zeta )\,d\zeta.\end{eqnarray}

Falls z0 eine hebbare Singularität von f ist, so ist Res (f, z0) = 0. Die Umkehrung dieser Aussage gilt im allgemeinen nicht, denn für f(z) = (zz0)−n mit n ∈ ℕ, n ≥ 2 ist ebenfalls Res (f, z0) = 0. Weiter gilt für jede in G\{z0} holomorphe Funktion f, daß Res (f′, z0) = 0.

Für die Berechnung von Residuen sind folgende Regeln nützlich.

  1. Sind f, g holomorphe Funktionen in G \ {z0} und a, b ∈ ℂ, so gilt Res (af + bg, z0) = a Res (f, z0) + b Res (g, z0).
  2. Ist z0 eine Polstelle der Ordnung 1 von f, so gilt \begin{eqnarray}\mathrm{Re}\text{s}(f,{z}_{0})=\mathop{lim}\limits_{z\to {z}_{0}}(z-{z}_{0})f(z).\end{eqnarray} Hieraus erhält man speziell: Sind g und h in einer Umgebung von z0 holomorphe Funktionen mit g(z0) ≠ 0, h(z0) = 0 und h′(z0) ≠ 0, so hat \(f:=\frac{g^\prime}{g}\) an z0 eine Polstelle der Ordnung 1, und es gilt \begin{eqnarray}Res(f,{z}_{0})=\frac{g({z}_{0})}{{h}^{\prime}({z}_{0})}.\end{eqnarray}
  3. Hat f an z0 eine Polstelle der Ordnung m ∈ \({\mathbb{N}}\), so hat g(z) := (zz0)mf(z) an z0 eine hebbare Singularität, und es gilt \begin{eqnarray}Res(f,{z}_{0})=\frac{1}{(m-1)!}{g}^{(m-1)}({z}_{0}).\end{eqnarray}
  4. Ist g in einer Umgebung von z0 holomorph und hat g an z0 eine Nullstelle der Ordnung k ∈ ℕ, so hat \(f:=\frac{g}{h}\) an z0 eine Polstelle der Ordnung 1, und es gilt \begin{eqnarray}Res(f,{z}_{0})=k.\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos