zentraler funktionentheoretischer Begriff.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, z₀ ∈ G und f eine in G \ {z₀} holomorphe Funktion. Dann besitzt f eine Laurent-Entwicklung \begin{eqnarray}f(z)=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=-\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n},\end{eqnarray} die in \begin{eqnarray}{\dot{B}}_{r}({z}_{0})=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt |z-{z}_{0}|\lt r\}\end{eqnarray} konvergiert, wobei r > 0 derart, daß B_r(z₀) ⊂ G. Der Koeffizient a₋₁ heißt das Residuum von f an z₀ und wird mit Res (f, z₀) bezeichnet.

Ist 0 < ϱ < r und S_ϱ die einmal positiv durchlaufene Kreislinie mit Mittelpunkt z₀ und Radius ϱ, so gilt \begin{eqnarray}{a}_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{S}_{e}}f(\zeta )\,d\zeta.\end{eqnarray}

Falls z₀ eine hebbare Singularität von f ist, so ist Res (f, z₀) = 0. Die Umkehrung dieser Aussage gilt im allgemeinen nicht, denn für f(z) = (z − z₀)⁻ⁿ mit n ∈ ℕ, n ≥ 2 ist ebenfalls Res (f, z₀) = 0. Weiter gilt für jede in G\{z₀} holomorphe Funktion f, daß Res (f′, z₀) = 0.

Für die Berechnung von Residuen sind folgende Regeln nützlich.

1. Sind f, g holomorphe Funktionen in G \ {z₀} und a, b ∈ ℂ, so gilt Res (af + bg, z₀) = a Res (f, z₀) + b Res (g, z₀).
2. Ist z₀ eine Polstelle der Ordnung 1 von f, so gilt \begin{eqnarray}\mathrm{Re}\text{s}(f,{z}_{0})=\mathop{lim}\limits_{z\to {z}_{0}}(z-{z}_{0})f(z).\end{eqnarray} Hieraus erhält man speziell: Sind g und h in einer Umgebung von z₀ holomorphe Funktionen mit g(z₀) ≠ 0, h(z₀) = 0 und h′(z₀) ≠ 0, so hat \(f:=\frac{g^\prime}{g}\) an z₀ eine Polstelle der Ordnung 1, und es gilt \begin{eqnarray}Res(f,{z}_{0})=\frac{g({z}_{0})}{{h}^{\prime}({z}_{0})}.\end{eqnarray}
3. Hat f an z₀ eine Polstelle der Ordnung m ∈ \({\mathbb{N}}\), so hat g(z) := (z − z₀)^mf(z) an z₀ eine hebbare Singularität, und es gilt \begin{eqnarray}Res(f,{z}_{0})=\frac{1}{(m-1)!}{g}^{(m-1)}({z}_{0}).\end{eqnarray}
4. Ist g in einer Umgebung von z₀ holomorph und hat g an z₀ eine Nullstelle der Ordnung k ∈ ℕ, so hat \(f:=\frac{g}{h}\) an z₀ eine Polstelle der Ordnung 1, und es gilt \begin{eqnarray}Res(f,{z}_{0})=k.\end{eqnarray}