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Lexikon der Mathematik: Restklasse modulo m

die ¿asse ganzer Zahlen \begin{eqnarray}\{a\hspace{0.17em}\mathrm{mod}\hspace{0.17em}m\}=\{a,a\pm m,a\pm 2m,\ldots \},\end{eqnarray} die modulo m kongruent zu a sind. Das sind genau diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch m den gleichen Rest lassen wie a, daher der Name Restklasse.

Interessant an Restklassen ist, daß man mit ihnen im Prinzip genauso rechnen kann wie mit ganzen Zahlen. Hat man nämlich zwei Kongruenzen \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}a\equiv b & \hspace{0.17em}\mathrm{mod}\hspace{0.17em}m,\\ c\equiv d & \hspace{0.17em}\mathrm{mod}\hspace{0.17em}m,\end{array}\end{eqnarray} so gilt auch \begin{eqnarray}\begin{array}{cl}a+c\equiv b+d & \hspace{0.17em}\mathrm{mod}\hspace{0.17em}m,\\ a\cdot c\equiv b\cdot d & \hspace{0.17em}\mathrm{mod}\hspace{0.17em}m,\end{array}\end{eqnarray} Damit besitzt die Menge der Restklassen modulo m die algebraische Struktur eines Rings; Nullelement ist die Restklasse {0 mod m} und Einselement die Restklasse {1 mod m}. Der Restklassenring modulo m wird meist mit ℤ/mℤ bezeichnet.

Bezüglich der Multiplikation ist eine Restklasse [a mod m} genau dann invertierbar, wenn a und m teilerfremd (oder relativ prim) sind. Eine solche in ℤ/mℤ invertierbare Restklasse heißt daher auch prime Restklasse modulo m. Die Einheitengruppe (ℤ/mℤ)× im Restklassenring modulo m nennt man die prime Restklassengruppe modulo m.

Ist m = p eine Primzahl, dann (und nur dann) sind alle von {0 mod p} verschiedenen Restklassen modulo p in ℤ/pℤ invertierbar. Damit ist ℤ/pℤ ein Körper, der Restklassenkörper modulo p.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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