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Lexikon der Mathematik: Resultante

Begriff aus der Algebra. Die Resultante erlaubt die Bestimmung gemeinsamer Nullstellen zweier Polynome.

Seien \begin{eqnarray}\begin{array}{l}f(X)={a}_{m}{X}^{m}+{a}_{m-1}{X}^{m-1}+\ldots +{a}_{0},\,\,\,\,{a}_{m}\ne 0,\\ g(X)={b}_{n}{X}^{n}+{a}_{n-1}{X}^{n-1}+\ldots +{b}_{0},\,\,\,\,{b}_{n}\ne 0\end{array}\end{eqnarray} zwei Polynome vom Grad m bzw. Grad n über dem Körper 𝕂. Die Resultante R(f, g) der Polynome f und g ist die Determinante der ((n + m) × (n + m))-Matrix \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{m} & {a}_{m-1} & \ldots & \ldots & {a}_{0} & 0 & \ldots & \ldots \\ 0 & {a}_{m} & \ldots & \ldots & {a}_{1} & {a}_{0} & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & {a}_{1} & {a}_{0}\\ {b}_{n} & {b}_{n-1} & \ldots & {b}_{0} & 0 & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & {b}_{n} & \ldots & {b}_{1} & {b}_{0} & 0 & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & {b}_{1} & {b}_{0}\end{array}\right)\end{eqnarray} Hierbei treten die Koeffizienten des Polynoms f genau n-mal, und die Koeffizienten des Polynoms g genau m-mal auf.

Die Resultante läßt sich vollständig im vorgelegten Körper 𝕂 berechnen. Sind x1, x2, …, xm bzw. y1, y2, …, yn die Nullstellen des Polynoms f bzw. des Polynoms g in einem hinreichend großen Erweiterungskörper von 𝕂, dann gilt \begin{eqnarray}\text{R}(f,g)={a}_{m}^{n}{b}_{n}^{m}.\mathop{\prod ^{m}}\limits_{i=1}\mathop{\prod ^{n}}\limits_{k=1}({x}_{i}-{y}_{k}).\end{eqnarray}

Die Resultante ist deshalb genau dann gleich Null, wenn die Polynome f und g eine gemeinsame Nullstelle in einem Erweiterungskörper haben, oder falls, im Gegensatz zur Annahme, einer der Koeffizienten am oder bn verschwindet.

Die Definition der Resultante läßt sich auf Polynome in mehreren Variablen X1, X2, …, Xk übertragen. In diesem Fall wählt man eine der Variablen (z. B. Xk) und schreibt die Polynome als Polynome in Xk mit Koeffizienten in den resüichen Variablen. Die Resultante erlaubt es, das Suchen gemeinsamer Nullstellen zweier Polynome in k Variablen auf die Suche nach Nullstellen eines Polynoms in (k − 1) Variablen (jedoch höheren Grads) zurückzuführen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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