Begriff aus der Algebra. Die Resultante erlaubt die Bestimmung gemeinsamer Nullstellen zweier Polynome.

Seien \begin{eqnarray}\begin{array}{l}f(X)={a}_{m}{X}^{m}+{a}_{m-1}{X}^{m-1}+\ldots +{a}_{0},\,\,\,\,{a}_{m}\ne 0,\\ g(X)={b}_{n}{X}^{n}+{a}_{n-1}{X}^{n-1}+\ldots +{b}_{0},\,\,\,\,{b}_{n}\ne 0\end{array}\end{eqnarray} zwei Polynome vom Grad m bzw. Grad n über dem Körper 𝕂. Die Resultante R(f, g) der Polynome f und g ist die Determinante der ((n + m) × (n + m))-Matrix \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{m} & {a}_{m-1} & \ldots & \ldots & {a}_{0} & 0 & \ldots & \ldots \\ 0 & {a}_{m} & \ldots & \ldots & {a}_{1} & {a}_{0} & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & {a}_{1} & {a}_{0}\\ {b}_{n} & {b}_{n-1} & \ldots & {b}_{0} & 0 & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & {b}_{n} & \ldots & {b}_{1} & {b}_{0} & 0 & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & {b}_{1} & {b}_{0}\end{array}\right)\end{eqnarray} Hierbei treten die Koeffizienten des Polynoms f genau n-mal, und die Koeffizienten des Polynoms g genau m-mal auf.

Die Resultante läßt sich vollständig im vorgelegten Körper 𝕂 berechnen. Sind x₁, x₂, …, x_m bzw. y₁, y₂, …, y_n die Nullstellen des Polynoms f bzw. des Polynoms g in einem hinreichend großen Erweiterungskörper von 𝕂, dann gilt \begin{eqnarray}\text{R}(f,g)={a}_{m}^{n}{b}_{n}^{m}.\mathop{\prod ^{m}}\limits_{i=1}\mathop{\prod ^{n}}\limits_{k=1}({x}_{i}-{y}_{k}).\end{eqnarray}

Die Resultante ist deshalb genau dann gleich Null, wenn die Polynome f und g eine gemeinsame Nullstelle in einem Erweiterungskörper haben, oder falls, im Gegensatz zur Annahme, einer der Koeffizienten a_m oder b_n verschwindet.

Die Definition der Resultante läßt sich auf Polynome in mehreren Variablen X₁, X₂, …, X_k übertragen. In diesem Fall wählt man eine der Variablen (z. B. X_k) und schreibt die Polynome als Polynome in X_k mit Koeffizienten in den resüichen Variablen. Die Resultante erlaubt es, das Suchen gemeinsamer Nullstellen zweier Polynome in k Variablen auf die Suche nach Nullstellen eines Polynoms in (k − 1) Variablen (jedoch höheren Grads) zurückzuführen.