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Lexikon der Mathematik: Ricci-Krümmung

Begriff aus der Differentialgeometrie.

Die Ricci-Krümmung einer n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) in einem Punkt PM ist die Funktion, die jedem eindimensionalen linearen Unterraum des Tangentialraumes TP(M) die Zahl \begin{eqnarray}r({\mathfrak{v}})=\frac{S({\mathfrak{v}},{\mathfrak{v}})}{g({\mathfrak{v}},{\mathfrak{v}})}\end{eqnarray} zuordnet, worin S der Ricci-Tensor, g der metrische Fundamentaltensor und \({\mathfrak{v}}\) ein beliebiger, den eindimensionalen linearen Unterraum erzeugender Vektor ist.

Die Ricci-Krümmung kann man durch die Schnittkrümmung ausdrücken: Bezeichnet kP(\({\mathfrak{t}}\), \({\mathfrak{s}}\) die Schnittkrümmung des von den Vektoren \({\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}}\) ∈ Tp(M) erzeugten zweidimensionalen linearen Unterraums von TP(M), und ist \({\mathfrak{v}},{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots, {{\mathfrak{e}}}_{n-1}\) eine Basis von orthonormierten Vektoren von TP(M), so gilt \begin{eqnarray}r({\mathfrak{v}})=\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{k}_{p}({\mathfrak{v}},{{\mathfrak{e}}}_{i}).\end{eqnarray} Gilt n > 2, und gibt es einen Punkt pM derart, daß die Ricci-Krümmung für jeden eindimensionalen Unterraum denselben Wert hat, so nimmt sie in allen Punkten für alle eindimensionalen Unterräume diesen konstanten Wert an.

Mannigfaltigkeiten mit konstanter Ricci-Krümmung heißen Einstein-Räume. Der Ricci-Tensor eines Einstein-Raumes hat die Form cS = rg. In einem Einstein-Raum gilt die Gleichung \begin{eqnarray}n{S}_{ij}{S}^{ij}-{s}^{2}=0,\end{eqnarray} worin Sij und Sij die kovarianten und die kontravarianten Komponenten von S sind, und s die skalare Krümmung von M ist. Die Ricci-Krümmung kann man durch die oben angegebene Formel auch auf beliebigen pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren, allerdings nur für eindimensionale Unterräume, die nicht isotrop sind.

Aus der Ricci-Krümmung kann man den Ricci-Tensor durch die Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}S(u, v) & = & \displaystyle\frac{1}{2}(r({\mathfrak{u}}+{\mathfrak{v}})g({\mathfrak{u}}+{\mathfrak{v}},{\mathfrak{u}}+{\mathfrak{v}})\\ & & -r({\mathfrak{u}})g({\mathfrak{u}},{\mathfrak{u}})-r({\mathfrak{v}})g({\mathfrak{v}},{\mathfrak{v}}))\end{array}\end{eqnarray} zurückgewinnen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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