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Lexikon der Mathematik: Richtungsfeld

graphische Darstellung der Lösungen einer Differentialgleichung.

Für die explizite Differentialgleichung y′ = f (x, y) heißt (x, y, f (x, y)) ein Linienelement der Differentialgleichung, und die Menge \begin{eqnarray}\{(x, y, f(x, y))\,|\,(x, y)\in G\}\end{eqnarray} der Linienelemente heißt Richtungsfeld.

Es sind G ⊂ ℝ2 offen, f : G → ℝ eine Funktion und \(\langle x, y\rangle \) ein Punkt in G. Linienelemente werden als kurze Striche durch (x, y) mit der Steigung f (x, y) skizziert. Die Kurven der Form f (x, y) = const, also die Niveaulinien von f, werden Isoklinen genannt.

Die Linienelemente durch die Punkte einer Isokline haben alle die gleiche Steigung. Lösungskurven y = φ (x) der Differentialgleichung laufen so durch das Richtungsfeld, daß das Linienelement in jedem Punkt tangential am Graphen der Lösungskurve liegt. Hat man das Richtungsfeld einer Differentialgleichung skizziert, so lassen sich meist daran schon wichtige Eigenschaften der Lösung(en) erkennen. Insbesondere erhält man sofort einen Eindruck vom qualitativen Verhalten der Lösung.

Beispiel: Es sei G := {(x, y) ∈ ℝ2, y > 0} und f (x, y) = x + y auf G. Das Richtungsfeld der Differentialgleichung y′ = x + y ist in der Abbildung skizziert.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Richtungsfeld
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Richtungsfeld der Differentialgleichung y′= x + y

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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