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Lexikon der Mathematik: Riemann-Hilbert-Problem

Problemstellung in der Funktionentheorie, die wie folgt lautet:

Gegeben sei ein beschränktes Gebiet G ⊂ ℂ und stetige Funktionen a, b, c : ∂G → ℝ. Gesucht ist eine stetige Funktion f = u + iv : \(\overline{G}\to {\mathbb{C}},\) die in G holomorph ist und die Randbedingung \begin{eqnarray}a(\zeta )u(\zeta )-b(\zeta )v(\zeta )=c(\zeta )\end{eqnarray} für alle ζ ∈ ∂G erfüllt.

Zur Lösung des Problems sei vorausgesetzt, daß G ein Jordan-Gebiet ist, d. h. ∂G ist eine JordanKurve. In diesem Fall ist G insbesondere einfach zusammenhängend. Weiter seien a, b und c Hölderstetig auf ∂G, d. h. es existieren Konstanten λ ∈ (0, 1] und M > 0 mit \begin{eqnarray}|a({\zeta }_{1})-a({\zeta }_{2})|\le M{|{\zeta }_{1}-{\zeta }_{2}|}^{\lambda }\end{eqnarray} für alle ζ1, ζ1∂G. Fur b und c gelten entsprechende Ungleichungen, wobei λ und M von a, b und c abhängen dürfen. Schließich gelte \begin{eqnarray}|a(\zeta )|+|b(\zeta )|\ne 0\end{eqnarray} für alle ζ ∈ ∂G.

Es existiert eine konforme Abbildung φ von \({\mathbb{E}}\) = {z ∈ ℂ : |z| < 1} auf G. Da ∂G eine JordanKurve ist, kann φ zu einem Homöomorphismus von \(\overline{{\mathbb{E}}}\) auf \(\overline{G}\) fortgesetzt werden. Dann löst man das Riemann-Hilbert-Problem für \({\mathbb{E}}\) mit den Randfunktionen α = aφ, β = bφ und γ = cφ, d. h. man bestimmt eine in \(\overline{{\mathbb{E}}}\) stetige und in \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion F = U + iV mit \begin{eqnarray}\alpha (\omega )U(\omega )-\beta (\omega )V(\omega )=\gamma (\omega )\end{eqnarray} für alle ω ∈ \({\mathbb{T}}\) = ∂\({\mathbb{E}}\). Unter geeigneten Glattheits- voraussetzungen an ∂G überträgt sich die Hölder-Stetigkeit von a, b und c auf α, β und γ. Schließlich ist f = Fφ-1 die Lösung des Riemann-HilbertProblems für G mit der Randbedingung (1).

Daher genügt es, das Riemann-Hilbert-Problem im Spezialfall G = \({\mathbb{E}}\) zu lösen. Ist f eine Lösung dieses Problems in \({\mathbb{E}}\), so setzt man \begin{eqnarray}f^* (z):=\overline{f\left(\frac{1}{z}\right)},\quad z\in \Delta, \end{eqnarray} wobei \(\Delta :=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\gt 1\}\) und \begin{eqnarray}F(z):=\left\{\begin{array}{ccc}f(z) & \text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,\,z\in {\mathbb{E}},\\ {f}^{* }(z) & \text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,\, z\in \Delta.\end{array}\right.\end{eqnarray} Für die inneren und äußeren Randwerte von F auf \({\mathbb{T}}\) gilt \begin{eqnarray}{F}^{+}(\zeta )=\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \zeta }}\limits_{z\in {\mathbb{E}}}F(z)=f(\zeta )\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{F}^{-}(\zeta )=\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \zeta }}\limits_{z\in \Delta }F(z)=\overline{f(\zeta )}.\end{eqnarray} Die Randbedingung (1) kann dann in der Form \begin{eqnarray}{F}^{-}(\zeta )=A(\zeta )=A(\zeta ){F}^{+}(\zeta )+B(\zeta )\end{eqnarray} geschrieben werden, wobei \begin{eqnarray}A(\zeta )=-\frac{a(\zeta )+ib(\zeta )}{a(\zeta )-ib(\zeta )},\quad B(\zeta )=-\frac{2c(\zeta )}{a(\zeta )-ib(\zeta )}.\end{eqnarray} Damit ist die Lösung des Riemann-Hilbert-Problems auf die Lösung des sog. Hilbert-Priwalow-Problems (2) zurückgeführt. Wegen |a(ζ)|+|b(ζ)| ≠ 0 sind die Funktionen A und B stetig auf \({\mathbb{T}}\) und A(ζ) ≠ 0 für alle ζ ∈ \({\mathbb{T}}\). Da a, b und c Hölder-stetig sind, gilt dies auch für A und B. Ist F eine Lösung von (2), so setzt man \begin{eqnarray}F^* (z):=\overline{F\left(\frac{1}{z}\right)},\quad z\in {\mathbb{C}}\backslash {\mathbb{T}},\end{eqnarray} und die funktion \begin{eqnarray}f(z):=\frac{1}{2}[F(z)+F^* (z)],\quad z\in {\mathbb{E}},\end{eqnarray} ist eine Lösung von (1).

Für die Lösbarkeit des Hilbert-Priwalow-Problems spielt der sog. Index nA der Funktion A eine Rolle. Dieser ist definiert durch \begin{eqnarray}{n}_{A}:=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}d\,\mathrm{log}A(\zeta ),\end{eqnarray} und es gilt nA ∈ ℤ. Dabei ist das Integral als Riemann-Stieltjes-Integral zu verstehen. Ist A sogar differenzierbar, so ist \begin{eqnarray}{n}_{A}:=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{{A}{^{\prime} }(\zeta )}{A(\zeta )}d\zeta.\end{eqnarray} Weiter wird der Begriff des Cauchy-Integrals benötigt. Ist h :\({\mathbb{T}}\) → ℂ eine stetige Funktion, so wird durch \begin{eqnarray}{H}{(z)}:=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{{h}(\zeta )}{\zeta-z}d\zeta\end{eqnarray} eine in \(\begin{eqnarray}{\mathbb{C}}\backslash {\mathbb{T}}\end{eqnarray}\) holomorphe Funktion H definiert. Falls h zusätzlich Hölder-stetig ist, so existieren die inneren und äuberen Randwerte H+ und H- von H auf \({\mathbb{T}}\), d. h. \begin{eqnarray}{H}^{+}(\zeta )=\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to \zeta }}\limits_{z\in {\mathbb{E}}}H(z)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{H}^{-}(\zeta )=\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to \zeta }}\limits_{z\in \Delta }H(z).\end{eqnarray} Es gilt \begin{eqnarray}{H}^{+}(\zeta )-{H}^{-}(\zeta )=h(\zeta )\end{eqnarray} für ζ ∈ \({\mathbb{T}}\). Ist z. B. h(ζ) ≡ 1, so gilt H(z) = 1 für z ∈ \({\mathbb{E}}\) und H(z) = 0 für zΔ.

Nun sei zunächst nA ≤ 0, d.h. n := –nA ∈ ℕ0. Dann ist ζ → log [ζnA(ζ)] eine stetige Funktion. Man bildet die Cauchy-Integrale \begin{eqnarray}{F}_{1}(z):=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{\mathrm{log}[{\zeta }^{n}A(\zeta )]}{\zeta -z}d\zeta,\quad z\in {\mathbb{C}}\backslash {\mathbb{T}}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{F}_{2}(z):=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{B(\zeta ){e}^{-{F}_{1}^{-}(\zeta )}}{\zeta -z}d\zeta,\quad z\in {\mathbb{C}}\backslash {\mathbb{T}}.\end{eqnarray} Dann ist die allgemeine Lösung F des Hilbert-Priwalow-Problems gegeben durch \begin{eqnarray}F(z)=[p(z)+{z}^{n}{F}_{2}(z)]{e}^{-{F}_{1}(z)},\quad z\in {\mathbb{E}}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}F(z)={z}^{-n}[p(z)+{z}^{n}{F}_{2}(z)]{e}^{-{F}_{1}(z)},\quad z\in \Delta, \end{eqnarray} wobei \(p(z)={a}_{n}{z}^{n}+{a}_{n-1}{z}^{n-1}+{a}_{0}\) ein beliebiges Polynom vom Grad höchstens n ist.

Schließlich sei nA > 0, d.h. n := nA ∈ ℕ. In diesem Fall ist das Hilbert-Priwalow-Problem genau dann lösbar, wenn die n Bedingungen \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{B(\zeta ){e}^{{F}_{1}^{-}(\zeta )}}{{\zeta }^{k+1}}d\zeta =0,\quad k+1,\ldots, n\end{eqnarray} erfüllt sind. Setzt man \begin{eqnarray}C:=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{B(\zeta ){e}^{{F}_{1}^{-}(\zeta )}}{\zeta }d\zeta, \end{eqnarray} so ist die einzige Lösung gegeben durch \begin{eqnarray}F(z)={z}^{-n}[C+{F}_{2}(z)]{e}^{-{F}_{1}(z)},\quad z\in {\mathbb{E}}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}F(z)=[C+{F}_{2}(z)]{e}^{-{F}_{1}(z)},\quad z\in \Delta, \end{eqnarray} wobei die Definition von F1 in (3) durch \begin{eqnarray}{F}_{2}(z):=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{T}}}\frac{\mathrm{log}[{\zeta }^{-n}A(\zeta )]}{\zeta -z}d\zeta,\quad z\in {\mathbb{C}}\backslash {\mathbb{T}}\end{eqnarray} zu ersetzen ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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