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Lexikon der Mathematik: Riemann-Hurwitzsche Formel

Formel (1) im folgenden Satz:

Es seien m, n ∈ ℕ, \({G}_{1}\subset \hat{{\mathbb{C}}}\)ein m-fach zusammenhängendes Gebiet (d. h. \(\hat{{\mathbb{C}}}\)\G1besteht aus genau m Zusammenhangskomponenten), G2 ⊂ \(\hat{{\mathbb{C}}}\)ein n-fach zusammenhängendes Gebiet, und f eine eigentliche meromorphe Abbildung von G1auf G2vom Abbildungsgrad k ∈ ℕ.

Dann besitzt f nur endlich viele kritische Punkte in G1. Bezeichnet \(r\in {{\mathbb{N}}}_{0}\)die Anzahl dieser Punkte (dabei ist für die Nullstellen von f‘ die Nullstellenordnung zu berücksichtigen, und eine Polstelle von f der Polstellenordnung μ ≥ 2 ist (μ − 1)-fach zu zählen), so gilt \begin{eqnarray}m-2=k(n-2)+r.\end{eqnarray}

Unter den obigen Voraussetzungen erhält man auf elementare Weise \begin{eqnarray}n\le m\le kn,\end{eqnarray} daher folgt aus (1) insbesondere die Ungleichung \begin{eqnarray}r\le 2(k-1).\end{eqnarray}

Spezialfälle: Ist f eine konforme Abbildung von G1 auf G2, so ist k = 1, r = 0 und daher m = n. Im Fall m = n = 2 folgt r = 0, d. h. eigentliche meromorphe Abbildungen zwischen zweifach zusammenhängenden Gebieten besitzen keine kritischen Punkte. Für m = n = 1 erhält man, daß jedes endliche Blaschke-Produkt \begin{eqnarray}B(z)=\displaystyle \prod _{j=1}^{k}\frac{z-{a}_{j}}{1-{\overline{a}}_{j}z},\quad|{a}_{j}|\lt 1\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,j=1,...,k\end{eqnarray} vom Grad k genau k − 1 kritische Punkte in der offenen Einheitskreisscheibe \({\mathbb{E}}\) besitzt.

Die Riemann-Hurwitz-Formel gilt auch für m = n = 0, d. h. G1 = G2 = \(\hat{{\mathbb{C}}}\). In diesem Fall ist f eine rationale Funktion vom Grad d = k, und die Formel besagt, daß f genau 2(d − 1) kritische Punkte in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) besitzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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