ein wesentliches Werkzeug der ein- und mehrdimensionalen Analysis.

Es sei hier ein (relativ) einfacher Zugang zum eindimensionalen Riemann-Integral skizziert: (Für eine allgemeinere entsprechende Darstellung des mehrdimensionalen Falls vergleiche man mehrdimensionales Integral.)

Für ein beliebiges beschränktes Intervall mit den Endpunkten a und b (−∞ < a ≤ b < ∞) notieren wir hier |a, b|, also \begin{eqnarray}|a,b|\in \{[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)\}.\end{eqnarray} Damit seien das Intervallsystem \begin{eqnarray}{\mathbb{I}}:=\{|a, b|:-\infty \lt a\le b\lt \infty \}\end{eqnarray} und die Intervall-Länge \begin{eqnarray}\mu :{\mathbb{I}}\,\unicode{8717}\,|a, b|\mapsto b-a\in [0,\infty )\end{eqnarray} gebildet. Man hat dann zunächst: \(\mu :{\mathbb{I}}\to [0,\infty )\) ist ein Inhalt.

Für \(A\subset {\mathbb{R}}\) bezeichne \begin{eqnarray}{\chi }_{A}(x):=\left\{\begin{array}{ll}1, & x\in A\\ 0, & x\in {\mathbb{R}}\backslash A\end{array}\right.\end{eqnarray} die charakteristische Funktion (von A). Dann liefert die lineare Hülle von \(\{{\chi }_{A}|A\in {\mathbb{I}}\}\) gerade \begin{eqnarray}{\mathfrak{E}}:=\left\{\displaystyle \sum _{k=1}^{k}{\alpha }_{k}{\chi }_{{A}_{k}}|{\alpha }_{k}\in {\mathbb{R}},{A}_{k}\in {\mathbb{I}};k\in {\mathbb{N}}\right\},\end{eqnarray} den Unterraum einfacher Funktionen (Treppenfunktionen) des \({\mathbb{R}}\)-Vektorraums \({\mathfrak{F}}:={\mathfrak{F}}({\mathbb{R}},{\mathbb{R}})\) aller reellwertigen Funktionen auf \({\mathbb{R}}\).

Durch \begin{eqnarray}i\left({\displaystyle \sum _{\kappa=1}^{\kappa}\alpha_{\kappa}}{\chi }_{{A}_{\kappa}}\right):=\displaystyle \sum _{\kappa=1}^{\kappa}{\alpha }_{\kappa}\,\mu ({A}_{\kappa})\end{eqnarray} ist dann das elementare Inteǵral \begin{eqnarray}i:{\mathfrak{E}}\to {\mathbb{R}\quad linear}\end{eqnarray} gegeben. (Hier ist zunächst nachzuweisen, daß i wohldefiniert ist, also unabhängig von der speziellen Darstellung einer einfachen Funktion.)

Man erhält recht einfach die Eigenschaften:

1. \({\mathfrak{E}}\ni h\ge 0\Rightarrow i(h)\ge 0,\)a′) i its isoton,
2. \({\mathfrak{E}}\ni h\ge \Rightarrow |h|\ni {\mathfrak{E}}\wedge |(ih)|\le i(|h|)\)
3. \({\mathfrak{E}}\ni h\ge, k\ge, \Rightarrow h\vee k, h\wedge k\in {\mathfrak{E}}, h.k\in {\mathfrak{E}}\) Für \(f\in {\mathfrak{F}}\) sei – mit inf ø := ∞ −

Statt \(\overline{i}(f)\) notiert man meist wieder i(f) oder auch \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits^{}f(x)dx\quad\text{und}\quad\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx,\end{eqnarray} wenn f (x) außerhalb des Intervalls [a, b] für -∞ < a ≤ b ≤ ∞ den Wert 0 annimmt.

Die obigen Eigenschaften (a) bis (c) gelten entsprechend für \({\mathfrak{J}}\,\text{und}\,\overline{i}\).

Zusätzlich hat man die Eigenschaft: \begin{eqnarray}f\in {\mathfrak{J}}\Rightarrow \Vert f\Vert =\overline{l}(|f|)\,\,\,(\lt \infty ).\end{eqnarray}

Ein stärker an der Anschauung orientierter, aber weniger verallgemeinerungsfähiger Zugang (über Einschließung durch Ober- und Untersummen) ist unter dem Stichwort bestimmtes Integral zu finden.

Auf Henry Léon Lebesgue geht die folgende Charakterisierung von Riemann-Integrierbarkeit zurück:

Eine reellwertige Funktion f ist auf einem beschränkten Intervall genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie dort beschränkt und fast überall stetig ist.

Eine externe Beschreibung rein innerhalb der Theorie des Riemann-Integrals (mit dem JordanInhalt) findet man unter Oszillation.

Das Riemann-Integral wird hinsichtlich seiner Verwendbarkeit vom Lebesgue-Integral in vielerlei Hinsicht deutlich übertroffen.