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Lexikon der Mathematik: Riemann-Integral

ein wesentliches Werkzeug der ein- und mehrdimensionalen Analysis.

Es sei hier ein (relativ) einfacher Zugang zum eindimensionalen Riemann-Integral skizziert: (Für eine allgemeinere entsprechende Darstellung des mehrdimensionalen Falls vergleiche man mehrdimensionales Integral.)

Für ein beliebiges beschränktes Intervall mit den Endpunkten a und b (−∞ < a ≤ b < ∞) notieren wir hier |a, b|, also \begin{eqnarray}|a,b|\in \{[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)\}.\end{eqnarray} Damit seien das Intervallsystem \begin{eqnarray}{\mathbb{I}}:=\{|a, b|:-\infty \lt a\le b\lt \infty \}\end{eqnarray} und die Intervall-Länge \begin{eqnarray}\mu :{\mathbb{I}}\,\unicode{8717}\,|a, b|\mapsto b-a\in [0,\infty )\end{eqnarray} gebildet. Man hat dann zunächst: \(\mu :{\mathbb{I}}\to [0,\infty )\) ist ein Inhalt.

Für \(A\subset {\mathbb{R}}\) bezeichne \begin{eqnarray}{\chi }_{A}(x):=\left\{\begin{array}{ll}1, & x\in A\\ 0, & x\in {\mathbb{R}}\backslash A\end{array}\right.\end{eqnarray} die charakteristische Funktion (von A). Dann liefert die lineare Hülle von \(\{{\chi }_{A}|A\in {\mathbb{I}}\}\) gerade \begin{eqnarray}{\mathfrak{E}}:=\left\{\displaystyle \sum _{k=1}^{k}{\alpha }_{k}{\chi }_{{A}_{k}}|{\alpha }_{k}\in {\mathbb{R}},{A}_{k}\in {\mathbb{I}};k\in {\mathbb{N}}\right\},\end{eqnarray} den Unterraum einfacher Funktionen (Treppenfunktionen) des \({\mathbb{R}}\)-Vektorraums \({\mathfrak{F}}:={\mathfrak{F}}({\mathbb{R}},{\mathbb{R}})\) aller reellwertigen Funktionen auf \({\mathbb{R}}\).

Durch \begin{eqnarray}i\left({\displaystyle \sum _{\kappa=1}^{\kappa}\alpha_{\kappa}}{\chi }_{{A}_{\kappa}}\right):=\displaystyle \sum _{\kappa=1}^{\kappa}{\alpha }_{\kappa}\,\mu ({A}_{\kappa})\end{eqnarray} ist dann das elementare Inteǵral \begin{eqnarray}i:{\mathfrak{E}}\to {\mathbb{R}\quad linear}\end{eqnarray} gegeben. (Hier ist zunächst nachzuweisen, daß i wohldefiniert ist, also unabhängig von der speziellen Darstellung einer einfachen Funktion.)

Man erhält recht einfach die Eigenschaften:

  1. \({\mathfrak{E}}\ni h\ge 0\Rightarrow i(h)\ge 0,\)a′) i its isoton,
  2. \({\mathfrak{E}}\ni h\ge \Rightarrow |h|\ni {\mathfrak{E}}\wedge |(ih)|\le i(|h|)\)
  3. \({\mathfrak{E}}\ni h\ge, k\ge, \Rightarrow h\vee k, h\wedge k\in {\mathfrak{E}}, h.k\in {\mathfrak{E}}\) Für \(f\in {\mathfrak{F}}\) sei – mit inf ø := ∞ −
\begin{eqnarray}\Vert f\Vert :=\inf \{i(h)\,|\,{\mathfrak{E}}\in h\ge |f|\}.\end{eqnarray}\(||\,\,\,||:{\mathfrak{F}}\to [0,\infty ]\) ist dann eine Integralnorm, d.h., es gilt ||0|| = 0 und \begin{eqnarray}|f|\le |{f}_{1}|+\cdots +|{f}_{k}|\Rightarrow \Vert f\Vert \le \Vert {f}_{1}\Vert +\cdots +\Vert {f}_{k}\Vert.\end{eqnarray} Zusätzlich hat man hier \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\Vert \alpha f\Vert = |\alpha |\Vert f\Vert (\alpha \in {\mathbb{R}}\backslash \{0\})\quad\text{und}\\ |i(h)| \le i(|h|)=\Vert h\Vert\,\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,\,h\in {\mathfrak{E}}.\end{array}\end{eqnarray}Das Prinzip der Integralfortsetzung (stetige Fortsetzung) liefert für \begin{eqnarray}\Im :=\{f\in {\mathfrak{F}}|\exists ({h}_{k})\in {{\mathfrak{E}}}^{{\mathbb{N}}}\Vert {h}_{k}-f\Vert \to 0(k\to \infty )\}:\end{eqnarray}\(\Im \) ist ein Unterraum von \({\mathfrak{F}}\) mit \({\mathfrak{E}}\subset {\mathfrak{J}}\) es existiert eine eindeutige lineare Abbildung \(\overline{\iota }:\Im \to {\mathbb{R}}\) mit \(\overline{\iota }(h)=i(h)(h\in {\mathfrak{E}})\) und \(|\overline{\iota }(f)|\le \Vert f\Vert (f\in \Im )\). Die Funktionen aus \(\Im \) heißen dann Riemann-integrierbar, und \(\overline{i}\) ist das Riemann-Integral.

Statt \(\overline{i}(f)\) notiert man meist wieder i(f) oder auch \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits^{}f(x)dx\quad\text{und}\quad\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx,\end{eqnarray} wenn f (x) außerhalb des Intervalls [a, b] für - < a ≤ b den Wert 0 annimmt.

Die obigen Eigenschaften (a) bis (c) gelten entsprechend für \({\mathfrak{J}}\,\text{und}\,\overline{i}\).

Zusätzlich hat man die Eigenschaft: \begin{eqnarray}f\in {\mathfrak{J}}\Rightarrow \Vert f\Vert =\overline{l}(|f|)\,\,\,(\lt \infty ).\end{eqnarray}

Ein stärker an der Anschauung orientierter, aber weniger verallgemeinerungsfähiger Zugang (über Einschließung durch Ober- und Untersummen) ist unter dem Stichwort bestimmtes Integral zu finden.

Auf Henry Léon Lebesgue geht die folgende Charakterisierung von Riemann-Integrierbarkeit zurück:

Eine reellwertige Funktion f ist auf einem beschränkten Intervall genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie dort beschränkt und fast überall stetig ist.

Eine externe Beschreibung rein innerhalb der Theorie des Riemann-Integrals (mit dem JordanInhalt) findet man unter Oszillation.

Das Riemann-Integral wird hinsichtlich seiner Verwendbarkeit vom Lebesgue-Integral in vielerlei Hinsicht deutlich übertroffen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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