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Lexikon der Mathematik: Riemann-Roch-Hirzebruch-Formel

die nachfolgende Formel (1), die auf glatten projektiven algebraischen Varietäten X und für kohärente Garben F auf X die Zahl \begin{eqnarray}{\chi}(X, F)=\sum _{q\ge 0}{(-1)}^{q}\dim \,\,{H}^{q}(X, F)\end{eqnarray} durch numerisch-topologische Invarianten von F und X ausdrückt. Es gilt \begin{eqnarray}{\chi}(X, F)=\mathop{\int }\limits_{X}ch(F).td(X).\end{eqnarray}

(Chern-Klassen, Schnitt-Theorie). Man nennt die Aussage auch den Satz von Riemann-Roch Hirzebruch.

Für n = 1 ist \begin{eqnarray}ch(F)=rg(F)+{c}_{1}(F)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}td(X)=1-\frac{{c}_{1}({K}_{X})}{2},\end{eqnarray} und man erhält den klassischen Satz von Riemann-Roch.

Für n = 2 ist \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}ch(F) & = & rg(F)+{c}_{1}(F)+\displaystyle\frac{{c}_{1}{(F)}^{2}-2{c}_{2}(F)}{2},\\ td(X) & = & 1-\displaystyle\frac{{c}_{1}({K}_{X})}{2}+\frac{{c}_{1}{({K}_{X})}^{2}+{c}_{2}(X)}{12}.\end{array}\end{eqnarray} Daraus erhält man \begin{eqnarray}{\mathcal{X}}(X,{{\mathcal{O}}}_{X})=\frac{({K}_{X}^{2})+e(X)}{12}\end{eqnarray} (Formel von Max Noether). Hierbei ist e(X) = f c2(X) die topologische Euler-Charakteristik im Falle des Grundkörpers \({\mathbb{C}}\) (für den zugrundeliegenden analytischen Raum), was man im allgemeinen auch als Selbstschnittzahl der Diagonale Δ in X × X definieren kann. Es gilt auf Flächen \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{\chi}(X, F) & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int {c}_{1}(F).{c}_{1}(F)-{c}_{1}(K))-\\ & & \displaystyle\int {c}_{2}(F)+rg(F){\chi}({{\mathcal{O}}}_{X}).\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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