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Lexikon der Mathematik: Riemannsche Untermannigfaltigkeit

Untermannigfaltigkeit \({\tilde{N}}^{n}\subset {M}^{m}(m\ge n)\) einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Mm.

Jede Untermannigfaltigkeit \({\tilde{N}}^{n}\subset {M}^{m}\) ist a priori mit einer Riemannschen Metrik gi, der induzierten Metrik, versehen. Ist \({\tilde{N}}^{n}\) orientierbar, so ergibt sich aus gi eine Differentialform der Stufe n, die Volumenform von \({\tilde{N}}^{n}\), und aus dieser durch n-fache Integration das n-dimensionale Volumen von \({\tilde{N}}^{n}\).

Allgemeiner wird auch eine differenzierbare Abbildung f : NnMm einer beliebigen Mannigfaltigkeit Nn, deren lineare tangierende Abbildung \begin{eqnarray}{f}_{* }:{T}_{x}{N}^{n}\to {T}_{f(x)}{M}^{m}\end{eqnarray} injektiv ist, als Riemannsche Untermannigfaltigkeit angesehen. Diese Bedingung ist gleichwertig damit, daß die Funktionalmatrix von f in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem in allen Punkten xN den Rang n hat. Eine solche Abbildung f heißt Immersion.

Es sei g die Riemannsche Metrik von Mm. Jede Immersion f definiert eine eindeutig bestimmte Riemannsche Metrik f*(g) auf Nn, die durch \begin{eqnarray}{f}^{* }(g)({\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}})=g({f}^{* }({\mathfrak{t}})),{f}^{* }({\mathfrak{s}})\,\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r\,\{\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}}\in {T}_{x}(n)\end{eqnarray} definiert ist. Die Bildmenge \({\tilde{N}}^{n}=f({N}^{n})\) heißt immergierte Riemannsche Untermannigfaltigkeit. Wenn f eine Immersion ist, besitzt jeder Punkt xNn eine Umgebung UNn derart, daß die Einschränkung von f auf U injektiv und die Bildmenge f(U) ⊂ Mm eine Untermannigfaltigkeit ist. Da f aber im ganzen nicht injektiv ist, ist die Vereinigung f(U1) ∪ f(U2) zweier solcher Untermannigfaltigkeiten im allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit mehr, selbst wenn U1, U2Nn disjunkt sind.

Wenn \({\tilde{N}}^{n}\) selbst eine Untermannigfaltigkeit von Mm und f ein Diffeomorphismus auf \({\tilde{N}}^{n}\) ist, identifiziert man die Punkte von xNn mit ihren Bildpunkten f(x) ∈ Nn und nennt f : NnMm eine Einbettung, sowie \({\tilde{N}}^{n}\) bzw. Nn eine eingebettete Riemannsche Untermannigfaltigkeit.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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