Untermannigfaltigkeit \({\tilde{N}}^{n}\subset {M}^{m}(m\ge n)\) einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M_m.

Jede Untermannigfaltigkeit \({\tilde{N}}^{n}\subset {M}^{m}\) ist a priori mit einer Riemannschen Metrik g_i, der induzierten Metrik, versehen. Ist \({\tilde{N}}^{n}\) orientierbar, so ergibt sich aus g_i eine Differentialform der Stufe n, die Volumenform von \({\tilde{N}}^{n}\), und aus dieser durch n-fache Integration das n-dimensionale Volumen von \({\tilde{N}}^{n}\).

Allgemeiner wird auch eine differenzierbare Abbildung f : Nⁿ → M^m einer beliebigen Mannigfaltigkeit Nⁿ, deren lineare tangierende Abbildung \begin{eqnarray}{f}_{* }:{T}_{x}{N}^{n}\to {T}_{f(x)}{M}^{m}\end{eqnarray} injektiv ist, als Riemannsche Untermannigfaltigkeit angesehen. Diese Bedingung ist gleichwertig damit, daß die Funktionalmatrix von f in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem in allen Punkten x ∈ N den Rang n hat. Eine solche Abbildung f heißt Immersion.

Es sei g die Riemannsche Metrik von M^m. Jede Immersion f definiert eine eindeutig bestimmte Riemannsche Metrik f^*(g) auf Nⁿ, die durch \begin{eqnarray}{f}^{* }(g)({\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}})=g({f}^{* }({\mathfrak{t}})),{f}^{* }({\mathfrak{s}})\,\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r\,\{\mathfrak{t}},{\mathfrak{s}}\in {T}_{x}(n)\end{eqnarray} definiert ist. Die Bildmenge \({\tilde{N}}^{n}=f({N}^{n})\) heißt immergierte Riemannsche Untermannigfaltigkeit. Wenn f eine Immersion ist, besitzt jeder Punkt x ∈ Nⁿ eine Umgebung U ⊂ Nⁿ derart, daß die Einschränkung von f auf U injektiv und die Bildmenge f(U) ⊂ M^m eine Untermannigfaltigkeit ist. Da f aber im ganzen nicht injektiv ist, ist die Vereinigung f(U₁) ∪ f(U₂) zweier solcher Untermannigfaltigkeiten im allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit mehr, selbst wenn U₁, U₂ ⊂ Nⁿ disjunkt sind.

Wenn \({\tilde{N}}^{n}\) selbst eine Untermannigfaltigkeit von M^m und f ein Diffeomorphismus auf \({\tilde{N}}^{n}\) ist, identifiziert man die Punkte von x ∈ Nⁿ mit ihren Bildpunkten f(x) ∈ Nⁿ und nennt f : Nⁿ → M^m eine Einbettung, sowie \({\tilde{N}}^{n}\) bzw. Nⁿ eine eingebettete Riemannsche Untermannigfaltigkeit.