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Lexikon der Mathematik: Riemannscher Abbildungssatz

lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, G ≠ ℂ und z0G.

Dann existiert genau eine konforme Abbildung f von G auf \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\)mit \begin{eqnarray}f({z}_{0})=0\,und\,{f}{^{\prime} }({z}_{0})\gt 0.\end{eqnarray}

Aus dem Satz von Liouville folgt sofort, daß es keine konforme Abbildung von \({\mathbb{C}}\) auf \({\mathbb{E}}\) gibt.

Man erhält leicht folgende allgemeinere Version des Abbildungssatzes.

Es seien G1 ≠ ℂ und G2 ≠ ℂ zwei einfach zusammenhängende Gebiete, z0G1und w0G2.

Dann existiert genau eine konforme Abbildung f von G1auf G2mit f(z0) = w0und f′(z0) > 0.

Dieses Ergebnis kann man auch kurz wie folgt ausdrücken: Je zwei einfach zusammenhängende Gebiete G1 ≠ ℂ und G2 ≠ ℂ sind konform äquivalent. Die konforme Äquivalenz liefert eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller einfach zusammenhängenden Gebiete in ℂ. Es existieren genau zwei Äquivalenzklassen, wobei die erste nur ℂ und die zweite alle anderen einfach zusammenhängenden Gebiete enthält.

Eine weitere Version des Abbildungssatzes behandelt sog. Außengebiete kompakter Mengen.

Es sei K ⊂ ℂ eine zusammenhängende, kompakte Menge derart, daß K mindestens zwei Punkte enthält und Kc ≔ ℂ \ K genau eine Zusammenhangskomponente besitzt. Dann existiert genau eine konforme Abbildung f von \begin{eqnarray}\Delta =\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\gt 1\}\end{eqnarray}auf Kc derart, daß für wΔ gilt \begin{eqnarray}f(w)=cw+{c}_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{{w}^{n}},\end{eqnarray}wobei c > 0.

Schließlich wird noch auf einen Abbildungssatz für zweifach zusammenhängende Gebiete G ⊂ ℂ eingegangen. Dabei heißt G zweifach zusammenhängend, falls \(\hat{{\mathbb{C}}}\backslash G\) genau zwei Zusammenhangskomponenten K1 und K2 besitzt. Hierbei sind zwei Fälle zu unterscheiden.

(i) Sind beide Mengen K1 und K2 nicht punktförmig, so existiert eine konforme Abbildung f von G auf einen Kreisring \begin{eqnarray}{A}_{r}=\{z\in {\mathbb{C}}:1\lt |z|\lt r\}.\end{eqnarray}Dabei ist die Zahl r ∈ (1, ∞) eindeutig bestimmt. Sie heißt der Modul von G.

(ii) Ist genau eine der Mengen K1 und K2 punktförmig, so existiert eine konforme Abbildung f von G auf den ausgearteten Kreisring \begin{eqnarray}{A}_{\infty }=\{z\in {\mathbb{C}}:1\lt |z|\lt \infty \}.\end{eqnarray}Der Fall, daß K1 und K2 nur aus einem Punkt bestehen, ist uninteressant, da dann \(G={\mathbb{C}}\backslash \{{z}_{0}\}\) für ein z0 ∈ ℂ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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