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Lexikon der Mathematik: Riemannscher Umordnungssatz

eine starke Aussage über Reihen reeller Zahlen, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind, also bedingt konvergente Reihen.

Eine einfache Formulierung des Satzes besagt, daß eine Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n}{x}_{n}\end{eqnarray} reeller Zahlen genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert. (Die Hinlänglichkeit der absoluten Konvergenz wurde bereits von Dirichlet erkannt (Dirichletscher Umordnungssatz).) Darüberhinaus kann man eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe so umordnen, daß die permutierte Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n}{x}_{\pi (n)}\) einen vorher festgelegten Wert hat, und man kann sie auch zu einer divergenten Reihe umordnen:

Ist \(\displaystyle {\sum }_{n}{x}_{n}\)eine konvergente Reihe reeller Zahlen, die nicht absolut konvergent ist, so gibt es zu jedem s ∈ ℝ U {−∞, ∞} eine Umordnung, d. h. eine bijektive Abbildung π : ℕ → ℕ (Permutation von), mit \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j}{a}_{\pi (j)}=s.\end{eqnarray}

Die Äquivalenz von unbedingter und absoluter Konvergenz gilt natürlich auch für komplexe Reihen oder für Reihen im ℝd, man braucht den Riemannschen Umordnungssatz lediglich komponentenweise anzuwenden. Sie gilt jedoch in keinem unendlichdimensionalen Banachraum (Dvoretzky-Rogers, Satz von).

Weitaus schwieriger ist es, die durch Umordnung zu erzielenden Reihenwerte \(\displaystyle {\sum }_{n}{x}_{\pi (n)}\) zu ermitteln. Sei \(\displaystyle {\sum }_{n}{x}_{n}\) eine konvergente Reihe im ℝd und Σ die Menge der Punkte s ∈ ℝd so, daß eine Permutation π mit \(s=\displaystyle {\sum }_{n}{x}_{\pi (n)}\) existiert. Im Fall d = 1 ist entweder Σ einpunktig, und die Reihe ist absolut konvergent, oder es ist Σ = ℝ. Im Fall beliebiger Dimension d besagt der Satz von Lévy-Steinitz, daß Σ stets ein affiner Unterraum des ℝd ist. Der Fall d = 2 beschreibt komplexe Reihen und geht auf Lévy (1905) zurück; der allgemeine Fall wurde von Steinitz (1913) bewiesen (Steinitz, Satz von).

Die Aussage des Satzes von Lévy-Steinitz gilt in keinem unendlichdimensionalen Banachraum.

[1] Kadets, M. I.; Kadets, V. M.: Series in Banach Spaces. Birkhäuser Basel, 1997.
[2] Walter, W.: Analysis 1. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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