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Lexikon der Mathematik: Riesz, Darstellungssatz von

lautet:

Es sei Ω ein topologischer Raum und \( {\mathcal B} (\Omega )\)die Borel-σ-Algebra in Ω. Dann gilt:

  1. Ist Ω lokalkompakt, und \begin{eqnarray}\begin{array}{c}I:\{f:\Omega \to {\mathbb{R}}\,|\,f\,stetig\,mit\,kompaktem\\ Tr{\ddot a}ger\}\to {\mathbb{R}}\end{array}\end{eqnarray}linear und positiv, so gibt es genau ein Radon Maß μ auf \( {\mathcal B} (\Omega )\)mit der Eigenschaft, daß f μ-integrierbar ist, und \begin{eqnarray}\displaystyle \int f{d}_{\mu }=I(f)\end{eqnarray}stetig für alle f mit kompaktem Träger.
  2. Ist Ω vollständig regulär und \begin{eqnarray}\begin{array}{c}I:\{f:\Omega \to {\mathbb{R}}\,|\,f\,stetig\,beschr{\ddot a}nkt\,{\mathbb{R}}\end{array}\end{eqnarray}linear und positiv, wobei zu jedem ε > 0 ein kompaktes K ⊆ Ω so existiert, daß I(f) < ε für alle f mit 0 ≤ f ≤ 1 und f|K = 0, so gibt es genau ein Radon-Maß μ auf \( {\mathcal B} (\Omega )\)mit der Eigenschaft, daß f μ-integrierbar ist, und \begin{eqnarray}\displaystyle \int f{d}_{\mu }=I(f)\end{eqnarray}stetig für alle beschränkten f.
  3. Die Aussage in (b) gilt auch, wenn man anstelle der Menge der stetigen beschränkten Funktionen die der stetigen Funktionen betrachtet.

In mehr funktionalanalytischer Formulierung macht der Darstellungssatz von Riesz eine Aussage über die Darstellung des Dualraums des Banachraums C(K) stetiger Funktionen auf einem Kompaktum K:

Jedes stetige lineare Funktional ℓC(K)′ kann durch ein eindeutig bestimmtes reguläres BorelMaß gemäß \begin{eqnarray}\ell (f)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{K}f{d}_{\mu }\end{eqnarray}dargestellt werden; weiterhin gilt \(\Vert \ell \Vert =|\mu |(K)\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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