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Lexikon der Mathematik: Riesz-Thorin, Interpolationssatz von

Aussage über die Stetigkeit linearer Operatoren auf Lp-Räumen.

Sei 1 ≤ pj, qj ≤ ∞ und T ein linearer Operator, der zwischen den komplexen Räumen \({L}^{{p}_{0}}(\mu )\)und \({L}^{{q}_{0}}(\nu )\)sowie zwischen \({L}^{{p}_{1}}(\mu )\)und \({L}^{{q}_{1}}(\nu )\)stetig ist, etwa \begin{eqnarray}\Vert T:{L}^{{p}_{0}}(\mu )\to {L}^{{q}_{0}}(\nu )\Vert =:{M}_{0}\lt \infty, \\ \Vert T:{L}^{{p}_{1}}(\mu )\to {L}^{{q}_{1}}(\nu )\Vert =:{M}_{1}\lt \infty.\end{eqnarray}Ist 0 < ϑ < 1 und 1/p = (1 − ϑ)/p0 + ϑ/p1 sowie 1/q = (1 − ϑ)/q0 + ϑ/q1, so ist T ebenfalls ein stetiger Operator von Lp(μ) nach Lq (ν) mit \begin{eqnarray}\Vert T:{L}^{p}(\mu )\to {L}^{q}(\nu )\Vert \le {M}_{0}^{1-\vartheta }{M}_{1}^{\vartheta }.\end{eqnarray}

Im reellen Fall bleibt (1) im Fall pjqj gültig, ansonsten ist auf der rechten Seite von (1) der Faktor 2 einzufügen.

Ein Beispiel ist der Operator \( {\mathcal F} \) der Fourier-Transformation, der auf dem Schwartz-Raum \({\mathcal{S}}({{\mathbb{R}}}^{d})\) durch \begin{eqnarray}( {\mathcal F} \varphi )(\xi )=\frac{1}{{(2\pi )}^{d/2}}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{d}}\varphi (x){e}^{-ix\xi }dx\end{eqnarray} erklärt ist. \( {\mathcal F} \) besitzt eine stetige Fortsetzung auf L1(ℝd) bzw. L2(ℝd) mit \begin{eqnarray}||{\mathcal F}:{L}^{1}\to {L}^{\infty }||=\frac{1}{{(2\pi )}^{d/2}},\quad||{\mathcal F}:{L}^{2}\to {L}^{2}||=1.\end{eqnarray}Für 1 < p < 2 und 1/p + 1/q = 1 besitzt \( {\mathcal F} \) dann eine stetige Fortsetzung von Lp(ℝd) nach Lq(ℝd)mit \begin{eqnarray}||F:{L}^{p}\to {L}^{q}||\le \frac{1}{{(2\pi )}^{d/p-d/2}};\end{eqnarray} diese Aussage ist zur Hausdorff-Young-Ungleichung äquivalent und folgt hier aus (1) mit ϑ = 2 − 2/p.

[1] Bennett, C.; Sharpley, R.: Interpolation of Operators. Academic Press London/Orlando, 1988.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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