Ring von Funktionen, die unter einer Gruppenoperation invariant sind.

Es sei G eine Gruppe, die durch eine Darstellung g : G → Aut(R) von G in die Automorphis-mengruppe des (kommutativen) Ringes R operiert. Dann ist \begin{eqnarray}{R}^{G}=\{r\in R\,|\,g(r)=r\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r\, {\text {alle}}}\,g\in G\}\end{eqnarray} der Ring der invarianten Funktionen bezüglich G.

Bei der Operation von G = ℂ auf R = ℂ[x₁, x₂, x₃], definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lcl}g({x}_{1}) & = & {x}_{1}, g({x}_{2})={x}_{2}+g{x}_{1}, g({x}_{3})\\ & = & {x}_{3}+g{x}_{2}+\frac{1}{2}{g}^{2}{x}_{1},\end{array}\end{eqnarray} ist der Ring der invarianten Funktionen beispiels-weise \begin{eqnarray}{R}^{G}={\mathbb{C}}[{x}_{1},2{x}_{1}{x}_{3}-{x}_{2}^{2}].\end{eqnarray}