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Lexikon der Mathematik: Ring

Eine Menge R mit zwei Verknüpfungen +, der Addition, und •, der Multiplikation, derart, daß gilt

  1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0, dem Nullelement.
  2. Die Verknüpfung • ist assoziativ, d. h. (a • b) • c = a • (b • c), ∀ a, b, c ∈ R .
  3. Es gelten die Distributivgesetze
    a • (b + c) = a • b + a • c
    und
    (a + b) • c = a • c + b • c,
    für alle a, b, c ∈ R.
Der Ring wird dann mit (R, +, •) bezeichnet.

Der Begriff des Rings ist also in gewisser Hinsicht eine Verallgemeinerung des Begriffs Körper.

Ist zusätzlich die Multiplikation • kommutativ, d. h. gilt a • b = b • a für alle a, b ∈ R, so heißt der Ring kommutativ. Manchmal läßt man die Bedingung der Assoziativität fallen und spricht dann von nichtassoziativen Ringen im Gegensatz zu den assoziativen Ringen.

Existiert ein neutrales Element der Multiplikation, wird es in der Regel mit 1 bezeichnet, und man spricht von einem Ring mit Eins(element).

Die Menge der ganzen Zahlen ist ein Beispiel für einen Ring.

Teilmengen U von R, die abgeschlossen sind bezüglich der Addition und Multiplikation, d. h. für die gilt
a, b ∈ U ⇒ a + b, a • b ∈ U,
heißen Unterringe. Unterringe I, für welche zusätzlich gilt
a ∈ I, b ∈ R ⇒ a • b, b • a ∈ I,
heißen (zweiseitige) Ideale. Ist I ein zweiseitiges Ideal von R, so trägt die Faktormenge R/I durch die Definition
a mod I + b mod I := (a + b) mod I,
a mod I • b mod I := (a • b) mod I

eine natürliche Ringstruktur. R/I heißt Faktorring.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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