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Lexikon der Mathematik: Risikoaversion

Begriff aus der Finanzmathematik.

Seien (Ri)i=1.N Zufallsgrößen, die die Erträge bestimmter Kapitalanlagen beschreiben. Die Portfolio-Theorie versucht, die unter Risiko-RenditeAspekten beste Mischung der Anlagen zu finden.

Dabei ist eine Konvexkombination (xi)i=1.N zu bestimmen, für die der Erwartungswert des resultierende Ertrags \begin{eqnarray}E[{R}_{x}]=\mathop{\sum ^{N}}\limits_{i=I}({x}_{i}E[{R}_{i}])\end{eqnarray} und dessen Risiko optimiert wird. Dieses wird charakterisiert durch die Varianz \begin{eqnarray}\mathrm{var}[{R}_{x}]=\mathop{\sum ^{N}}\limits_{ij=I}{x}_{i}{\sum }_{ij}{x}_{j}\end{eqnarray} mit der Varianz-Kovarianz-Matrix Σij.

Unter Vorgabe einer Nutzenfunktion U(Rx) ist die Frage nach dem optimalen Portfolio auf eine Optimierungsproblem zurückzuführen. Dabei verwendet man zur Quantifizierung der Risikoaversion z. B. das Arrow-Pratt-Maß \begin{eqnarray}\varrho (R)=-\frac{{U}{^{\prime{\prime}}}(R)}{{U}{^{\prime} }(R)}.\end{eqnarray} Für eine elementare (quadratische) Nutzenfunktion ergibt sich \begin{eqnarray}E[U({R}_{x})]=\lambda E[{R}_{x}]-1/2{Var}[{R}_{x}],\end{eqnarray} wobei der Parameter λ die Risikoaversion des Investors charakterisiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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