Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Risikoteilung

Konzept aus der Versicherungsmathematik, bei dem es darum geht, das versicherungstechnische Risiko auf verschiedene Vertragspartner aufzuteilen.

Die Risikoteilung spielt sowohl im Verhältnis zwischen Versicherer und Versicherungsnehmer (individueller Selbstbehalt) als auch in der Rückversicherung eine Rolle.

Der Risikoteilung liegt ein stochastischer Prozeß S = SE + SZ zugrunde, der typischerweise den Gesamtschaden für ein Kollektiv beschreibt. Dieser wird in ein Erstrisiko SE und ein Zweitrisiko SZ zerlegt und entsprechend zwischen Erst- und Rückversicherer aufgeteilt.

Bei der „proportionalen Risikoteilung“ erfolgt die Aufteilung in einem festen Verhältnis \begin{eqnarray}S=c* S+(1-c)S\end{eqnarray} mit 0 < c < 1. Da der Erwartungswert E[Se] und die Varianz Var[SE] für das Erstrisiko proportional zu c respektive c2 sind, ergibt sich eine entsprechende Aufteilung der Versicherungsprämie auf die Vertragspartner.

Mathematisch anspruchsvoller sind die unterschiedlichen Formen der „nichtproportionalen Risikoteilung“. Dabei geht man davon aus, daß der Risikoprozeß S in eine Anzahl von elementaren Prozessen zerfällt, d. h. \begin{eqnarray}S=\mathop{\sum ^{K}}\limits_{j=1}{S}_{j}.\end{eqnarray} Die Summe kann sowohl deterministisch als auch stochastisch sein, wobei K beispielsweise die Zahl der versicherten Einzelrisiken (deterministischer Fall) oder die Zahl der in der betreffenden Periode eingetretenen Schäden (stochastischer Fall) beschreiben kann.

Unter Vorgabe einer „Priorität“ a für das vom Erstversicherer zu tragende Risiko pro Elementarschaden Sj ergibt sich ein Erstrisiko \begin{eqnarray}{S}_{E}(a)=\mathop{\sum ^{K}}\limits_{j=1}\min ({S}_{j}, a).\end{eqnarray} Der Erwartungswert E[SE(a)] sowie die höheren Momente der Verteilung sind grundsätzlich aus der Verteilung der Elementarrisiken Sj und ggf. dem Prozeß K abzuleiten.

Zentral für die mathematische Bewertung ist die Bestimmung des „Entlastungskoeffizienten“ (der Entlastungseffektfunktion) \begin{eqnarray}r(a)=E[{S}_{E}(a)]/E[S].\end{eqnarray} Für stochastisch unabhängig identisch verteilte Elementarschäden Sj ist r(a) unabhängig von der Verteilung der Schadenereignisse und kann aus der Verteilungsfunktion von Sj berechnet werden. Die Entlastungseffektfunktion ist grundsätzlich konvex; aus ihrem Verlauf läßt sich ableiten, wie totalschadengefährdet ein Risiko ist, und welchen Nutzen eine Risikoteilung haben kann.

[1] Bühlmann, H.: Mathematical Methods in Risk Theory. Springer-Verlag Heidelberg, 1970.
[2] Mack, T.: Schadenversicherungsmathematik. Verlag Versicherungswirtschaft Karlsruhe, 1997.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Artikel zum Thema

Partnervideos