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Lexikon der Mathematik: Ritt, Entwicklungssatz von

lautet:

Es sei S ⊂ ℂ ein Kreissektor mit Spitze an 0 der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{lcl}S & = & S(r,\alpha, \beta )\\ & := & \{z=\varrho {e}^{i\varphi }\in {\mathbb{C}}:0\lt \varrho \lt r,\alpha \lt \varphi \lt \beta \},\end{array}\end{eqnarray}wobei r > 0 und α, β ∈ ℝ mit \begin{eqnarray}0\lt \beta -\alpha \lt 2\pi.\end{eqnarray}Weiter sei \begin{eqnarray}\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{k=0}{a}_{{k}^{{z}^{k}}}\end{eqnarray}eine beliebige formale Potenzreihe.

Dann existiert eine in S holomorphe Funktion f derart, daß für jedes n ∈ ℕ0gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to 0}{z}^{-n}\left[f(z)-\mathop{\sum ^{n}}\limits_{k=0}{a}_{{k}^{{z}^{k}}}\right]=0.\end{eqnarray}

Zur näheren Erläuterung der Aussage des Satzes von Ritt sei G ⊂ ℂ ein Gebiet mit 0 ∈ ∂G und f eine in G holomorphe Funktion. Eine formale Potenzreihe \(\mathop{\sum ^{\infty }_{k=0}}{a}_{{k}^{{z}^{k}}}\) heißt asymptotische Potenzreihenentwicklung von f an 0, falls (1) für jedes n ∈ ℕ0 gilt. Falls f eine asymptotische Entwicklung an 0 besitzt, so ist diese eindeutig bestimmt, denn für die Koeffizienten ak gelten die Rekursionsformeln \begin{eqnarray}\begin{array}{lcl}{a}_{0} & = & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to 0}f(z),\\ {a}_{n} & = & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to 0}{z}^{-n}\left[f(z)-\mathop{\sum ^{n-1}\limits_{k=0}}{a}_{{k}}{{z}}^{k}\right],\quad n\in {\mathbb{N}}.\end{array}\end{eqnarray} Man schreibt dann \begin{eqnarray}f_{G}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a}_{k}{z}^{k}.\end{eqnarray} Der Satz von Ritt besagt mit diesen Bezeichnungen, daß jede beliebige Potenzreihe die asymptotische Entwicklung einer in einem Kreissektor S holomorphen Funktion ist. Die Aussage bleibt gültig, falls man S durch ein beschränktes, konvexes Gebiet ersetzt.

Es folgen noch einige Ausführungen zur Existenz asymptotischer Entwicklungen. Die Funktion f (z) = e1/z ist in ℂ\{0} holomorph, besitzt dort aber keine asymptotische Entwicklung. Für jeden Kreissektor \begin{eqnarray}W=\left\{z={\varrho }e{^{i\varphi }}\in {\mathbb{C}}:\varrho \gt 0,\frac{\pi }{2}+\varepsilon \lt \varphi \lt \frac{3\pi }{2}-\varepsilon \right\}\end{eqnarray} mit ε > 0 gilt jedoch \begin{eqnarray}f\,{^\sim W}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a}_{k}{z}^{k}\end{eqnarray} mit ak = 0 für alle k ∈ ℕ0.

Ist 0 ∈ ∂G und hat die in G holomorphe Funktion f eine holomorphe Fortsetzung \(\hat{f}\) in ein Gebiet \(\hat{G}\supset G\) mit 0 ∈ \(\hat{G}\), so ist die Taylor-Reihe von \(\hat{f}\) um 0 die asymptotische Entwicklung von f an 0.Falls also 0 ein isolierter Randpunkt von G ist, d. h.eine isolierte Singularität von f, so besitzt f eine asymptotische Entwicklung an 0 genau dann, wenn 0 eine hebbare Singularität von f ist.

Schließlich liefert der folgende Satz eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer asymptotischen Entwicklung.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet mit 0 ∈ ∂G. Weiter existiere zu jedem zG eine Nullfolge (zj) derart, daß die Strecke [zj, z] in G liegt.

Ist f eine in G holomorphe Funktion, und existiert für jedes k ∈ ℕ0der Grenzwert \begin{eqnarray}{b}_{k}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to 0}{f}^{(k)}(z)\in {\mathbb{C}},\end{eqnarray}so gilt \begin{eqnarray}f\sim G\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{{b}_{k}}{k!}{z}^{k}.\end{eqnarray}

Die Bedingung an G ist insbesondere erfüllt, falls G konvex ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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