Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Ritz-Galerkin-Methode

Kombination der Galerkin-Methode mit dem Ritzschen Verfahren der Variationsrechnung zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen der Form Lu = f mit Differentialoperator L und rechter Seite f in einem Definitionsgebiet D.

In Erweiterung des Ritzschen Ansatzes muß L nicht notwendigerweise symmetrisch sein. Als Bilinearform verwendet man das L2-Skalarprodukt \begin{eqnarray}(u, v)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{D}uvdx\end{eqnarray} über D und betrachtet die sogenannte schwache Formulierung des Problems in der Form (Lu, v) = (f, v) für alle Testfunktionen v aus einem Funktionenraum V. Nach partieller Integration geht dies über in die Form a(u, v) = F(v) mit einer neuen Bilinearform a und einem Funktional F über geeigneten Funktionenräumen U und V (zumeist U = V). Die Ritz-Galerkin-Methode approximiert dann die Lösung in endlichdimensionalen Unterräumen Un bzw. Vn.

Die Problemstellung lautet somit: Bestimme uUn so, daß \begin{eqnarray}a(u, v)=F(v)\end{eqnarray} gilt für alle vVn.

Die eigentliche Lösung dieser Fragestellung reduziert sich nach Wahl einer Basis (φi) in Un (welche bereits die Randbedingungen erfüllen) und (ψi) in Vn auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der sogenannten Steifigkeitsmatrix \(A=({a}_{ij}),{a}_{ij}=a({\phi }_{i},{\psi }_{j}).\)

Die Ritz-Galerkin-Methode ist Grundlage der Finiten-Elemente-Methode.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Artikel zum Thema

Partnervideos