Lexikon der Mathematik: Röhrenfläche
eine Fläche \({ {\mathcal F} }_{r}\subset {{\mathbb{R}}}^{3},\) die aus allen Punkten besteht, die zu einer gegebenen regulären Kurve a(t) den festen Abstand r ≥0 haben.
Legt man durch jeden Punkt von a(t) die Normalebene N(t), so ist \({ {\mathcal F} }_{r}\) die Vereinigung aller Kreise \({K}_{r}(t)\subset N(t),\) vom Radius r um den Mittelpunkt a(t). Die Zahl r heißt Radius von \({ {\mathcal F} }_{r}\). Sind n(t) der Hauptnormalen- und b(t) der Binormalenvektor von a(t), so ist
Die Abbildung zeigt die Röhrenfläche der Schraubenlinie \(\beta (t)={(t,\cos (5t),\sin (5t))}^{\top }\) und einer geschlossenen verknoteten Kurve a(t) auf einem Torus mit der Parameterdarstellung
Röhrenfläche einer Schraubenlinie (oben) und eines Torusknotens (unten).
Allgemeiner kann man Kurven in \({{\mathbb{R}}}^{3}\) durch beliebige k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten \({M}^{k}\subset {{\mathbb{R}}}^{n}, k\le n,\) ersetzen, und in Analogie zur Röhrenfläche die Tube vom Radius r betrachten. Dies ist die Hyperfläche \({{\mathcal{T}}}_{r}({M}^{K})\) aller Punkte \(x\in {{\mathbb{R}}}^{n}\), die von Mk den Abstand r haben. Die Weylsche Tubenformel beschreibt das n-dimensionale Volumen \({V}_{r}^{n}({M}^{K})\) des von \({{\mathcal{T}}}_{r}({M}^{K})\) berandeten Gebietes in Abhängigkeit vom Radius r durch ein Polynom der Gestalt
Darin ist \([\frac{k}{2}]\) die größte ganze Zahl unterhalb \(\frac{k}{2}\), und die Koeffizienten α2i sind durch Integrale über gewisse Krümmungsinvarianten von Mk zu berechnen. Speziell ist
- \({V}_{r}^{2}(\beta )=2r\,\text L(\beta )\) für eine Kurve \(\beta \subset {{\mathbb{R}}}^{2}\) der \(\text L(\beta ),\)
- \({V}_{r}^{3}(\beta )=2\,\pi\, {r}^{2}\,\text L(\beta )\) für eine Kurve \(\beta \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) der Länge \(\text L(\beta ),\) und
- \({V}_{r}^{3}( {\mathcal F} )=2rA( {\mathcal F} )+\displaystyle\frac{4\pi {r}^{3}}{4}{\chi}( {\mathcal F} )\) für eine Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) mit dem Flächeninhalt \( \text A{(\mathcal F)}\) und der Eulerschen Charakteristik \({\chi}( {\mathcal F} ).\)
[1] Gray, A.: Tubes. Addison Wesley Publishing Company, New York, Amsterdam 1990.
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