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Lexikon der Mathematik: Röhrenfläche

eine Fläche \({ {\mathcal F} }_{r}\subset {{\mathbb{R}}}^{3},\) die aus allen Punkten besteht, die zu einer gegebenen regulären Kurve a(t) den festen Abstand r0 haben.

Legt man durch jeden Punkt von a(t) die Normalebene N(t), so ist \({ {\mathcal F} }_{r}\) die Vereinigung aller Kreise \({K}_{r}(t)\subset N(t),\) vom Radius r um den Mittelpunkt a(t). Die Zahl r heißt Radius von \({ {\mathcal F} }_{r}\). Sind n(t) der Hauptnormalen- und b(t) der Binormalenvektor von a(t), so ist \begin{eqnarray}\Phi (t, s)=\alpha (t)+r\,(\cos (s){\mathfrak{n}}(t)+\sin ({\mathfrak{s}}){\mathfrak{b}}(t))\end{eqnarray} für alle Radien rr0, die kleiner als eine gewisse von der Krümmung von a(t) abhängende Schranke r0 >0 sind, eine reguläre Parameterdarstellung von \({ {\mathcal F} }_{r}\).

Die Abbildung zeigt die Röhrenfläche der Schraubenlinie \(\beta (t)={(t,\cos (5t),\sin (5t))}^{\top }\) und einer geschlossenen verknoteten Kurve a(t) auf einem Torus mit der Parameterdarstellung \begin{eqnarray}a(t)=\left(\begin{array}{c}7\cos (3t)+3\cos (3t)\cos (5t)\\ 7\sin (3t)+3\cos (5t)\sin (3t)\\ 3\sin (5t)\end{array}\right).\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Röhrenfläche
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Röhrenfläche einer Schraubenlinie (oben) und eines Torusknotens (unten).

Allgemeiner kann man Kurven in \({{\mathbb{R}}}^{3}\) durch beliebige k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten \({M}^{k}\subset {{\mathbb{R}}}^{n}, k\le n,\) ersetzen, und in Analogie zur Röhrenfläche die Tube vom Radius r betrachten. Dies ist die Hyperfläche \({{\mathcal{T}}}_{r}({M}^{K})\) aller Punkte \(x\in {{\mathbb{R}}}^{n}\), die von Mk den Abstand r haben. Die Weylsche Tubenformel beschreibt das n-dimensionale Volumen \({V}_{r}^{n}({M}^{K})\) des von \({{\mathcal{T}}}_{r}({M}^{K})\) berandeten Gebietes in Abhängigkeit vom Radius r durch ein Polynom der Gestalt \begin{eqnarray}{V}_{r}^{n}({M}^{k})={r}^{n-k}\sum _{i=0}^{\left[\frac{k}{2}\right]}{\alpha }_{2i}{r}^{2i}.\end{eqnarray}

Darin ist \([\frac{k}{2}]\) die größte ganze Zahl unterhalb \(\frac{k}{2}\), und die Koeffizienten α2i sind durch Integrale über gewisse Krümmungsinvarianten von Mk zu berechnen. Speziell ist

  • \({V}_{r}^{2}(\beta )=2r\,\text L(\beta )\) für eine Kurve \(\beta \subset {{\mathbb{R}}}^{2}\) der \(\text L(\beta ),\)
  • \({V}_{r}^{3}(\beta )=2\,\pi\, {r}^{2}\,\text L(\beta )\) für eine Kurve \(\beta \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) der Länge \(\text L(\beta ),\) und
  • \({V}_{r}^{3}( {\mathcal F} )=2rA( {\mathcal F} )+\displaystyle\frac{4\pi {r}^{3}}{4}{\chi}( {\mathcal F} )\) für eine Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) mit dem Flächeninhalt \( \text A{(\mathcal F)}\) und der Eulerschen Charakteristik \({\chi}( {\mathcal F} ).\)

[1] Gray, A.: Tubes. Addison Wesley Publishing Company, New York, Amsterdam 1990.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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