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Lexikon der Mathematik: Rolle, Satz von

besagt, daß für − ∞ < a < b < ∞ und eine stetige, auf (a, b) differenzierbare Funktion \(f:[a, b]\to {\mathbb{R}}\) mit f (a) = f (b) die Ableitung f′ in (a, b) mindestens eine Nullstelle besitzt, also f eine waagrechte Tangente hat. Insbesondere liegt also zwischen zwei Nullstellen von f eine Nullstelle von f′.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Rolle, Satz von
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Satz von Rolle: c ist Nullstelle von f′.

Der Satz von Rolle ist äquivalent zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung, d. h. jeder der beiden Sätze läßt sich sich mit Hilfe des anderen beweisen.

Durch wiederholtes Anwenden des Satzes von Rolle erhält man folgende Verallgemeinerung aufhöhere Ableitungen: Hat eine n-mal differenzierbare Funktion \(f:[a, b]\to {\mathbb{R}}\) zwei oder mehr verschiedene Nullstellen der Gesamtordnung n + 1, so hat f(n) mindestens eine Nullstelle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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