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Lexikon der Mathematik: Rollkurve

Kurve, die ein Punkt P beschreibt, der mit einer ebenen Kurve C1, der Polkurve, fest verbunden ist, die ohne zu gleiten auf einer anderen Kurve C2, der Polbahn, rollt. P muß nicht ein Punkt von C1 sein.

Ist C1 ein Kreis und C2 eine Gerade, so heißt die Rollkurve gemeine (auch gewöhnliche oder gespitzte), verlängerte (auch verschlungene), oder verkürzte (auch abgestumpfte oder gestreckte) Zykloide, je nachdem, ob P auf, außerhalb oder innerhalb der Peripherie des rollenden Kreises C1 liegt. Sind beide Kurven Kreise, so heißt die Rollkurve Epizykloide oder Hypozykloide, je nachdem ob C1innen oder außen auf C2 rollt. Auch hier unterscheidet man in derselben Weise gemeine, verlängerte und verkürzte Epizykloiden und Hypozykloiden.

Ist keine der Kurven ein Kreis, so präzisiert man den Begriff des Rollens auf folgende Weise. Die rollende Kurve wird analytisch durch eine Schar Ks von Kurven beschrieben, in der der Scharparameter s die Bogenlänge der festen Kurve C2 ist. Es sei \({\beta }_{s}(t)\) eine Parametrisierung von Ksdurch die Bogenlänge t von Ks und α(s) eine Parametrisierung von C2 durch die Bogenlänge.

Ks wird durch folgende Eigenschaften eindeutig bestimmt: Jede Kurve Ks ist zu C1 kongruent, wobei die Bewegung, die Ks in C1überführt, die Orientierung erhalten soll. Außerdem sollen sich die Kurven Ks und die Kurve C2 in dem Punkt mit dem Parameterwert s0 + s berühren, d. h., es soll \begin{eqnarray}{\beta }_{s}({s}_{0}+s)=\alpha ({s}_{0}+s)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\beta }_{s}{^{\prime} }({s}_{0}+s)={\alpha }{^{\prime} }({s}_{0}+s)\end{eqnarray} für alle s gelten.

Die Delaunaysche Kurve ist ein Beispiel für eine Rollkurve, bei der die rollende Kurve kein Rad und die feststehende weder eine Gerade noch ein Kreis ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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