Extrapolationsverfahren zur Konvergenzbeschleunigung in der numerischen Integration.

Das Romberg-Verfahren beruht auf der Grundidee, durch geeignete Linearkombination von Quadraturformeln eine höhere Konvergenzordnung zu erhalten. Diese Vorgehensweise wurde 1955 von W. Romberg vorgeschlagen und kann als eines der ältesten Beispiele für die Extrapolation aufgefaßt werden.

Es sei h > 0, und es bezeichne \({T}_{0}^{k}, k=0, 1,\ldots \) für eine vorgegebene stetige Funktion f auf [a, b] die Werte, welche die Trapezregel angewandt auf f für die Schrittweiten \(\frac{h}{{2}^{k}}, k=0, 1\ldots, \) liefert. Dann ergeben sich die Näherungswerte \({T}_{j}^{k}, j\ge 1,\) für das Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\end{eqnarray} des Romberg-Verfahrens gemab der rekursiven Vorschrift \begin{eqnarray}{T}_{j}^{k}=\frac{{4}^{j}{T}_{j-1}^{k-1}-{T}_{j-1}^{k}}{{4}^{j}-1},\quad j\ge 1.\end{eqnarray} Die Quadraturformeln \({T}_{j}^{k}\) dieses Schemas sind exakt für Polynome vom Grad 2j + 1, und für den Quadraturfehler gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{T}_{j}^{k}={\mathcal{O}}({h}^{2j+2}).\end{eqnarray}

Die theoretische Rechtfertigung für die Durchführbarkeit des Romberg-Verfahrens, also Anwendung von Extrapolation auf die durch die Trapezregel ermittelten Näherungswerte an das Integral, wird durch die Euler-Maclaurinsche Summenformel gegeben, mit deren Hilfe man die Existenz einer asymptotischen Entwicklung der Folge der Trapezwerte nachweisen kann.

[1] Walz, G.: Asymptotics and Extrapolation. Akademie-Verlag Berlin, 1996.