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Lexikon der Mathematik: Rotationsfläche

Drehfläche, Fläche, die von einer in einer Ebene \({\mathcal{E}} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) liegenden Kurve \({\mathcal{K}}\subset {\mathcal{E}} \) überstrichen wird, wenn \({\mathcal{E}}\) um eine in \({\mathcal{E}}\) enthaltene Gerade \({\mathcal{G}}\) rotiert.

Die Kurve \({\mathcal{K}}\) heißt Erzeugende der Rotationsfläche und die Gerade \({\mathcal{G}}\) ihre Achse. Meist ist \({\mathcal{E}}\) die (x, z)-Ebene und \({\mathcal{G}}\) die z-Achse. Ist die Erzeugende durch eine Parametergleichung der Gestalt \(\alpha (t)=(\xi (t),0, z(t))\) gegeben, so erhält man als Parametergleichung der zugehörigen Rotationsfläche \begin{eqnarray}\Phi (t,\varphi )=(\xi (t)\,\text {cos}(\varphi ),\xi (t)\,\text {sin}(\varphi ),\eta (t)).\end{eqnarray}Darin ist φ der Drehwinkel. In dieser Parametrisierung lauten die Ausdrücke für die Koeffizienten der ersten Gaußschen Fundamentalform \(E={\xi }^{2}(t), F=0, G={\xi }{^{\prime} 2}(t)+{\eta }{^{\prime} 2}(t),\) während sich für die Koeffizienten der zweiten Gaußschen Fundamentalform \begin{eqnarray}L=-|\xi |{\eta }{^{\prime} }/\sqrt{{\xi }{^{\prime} 2}+{\eta }{^{\prime} 2}}, M=0,\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}N=\text{sign}(\xi )({\xi }{^{\prime\prime} }{\eta }{^{\prime} }-{\xi }{^{\prime} }{\eta }{^{\prime\prime} })/\sqrt{{\xi }{{^{\prime} }^{2}}+{\eta }{^{\prime} 2}}\end{eqnarray} ergibt.

Wir geben auch die Formeln für die Gaußsche Krümmung k und die mittlere Krümmung h an: Es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}k & = & \displaystyle\frac{{\eta }{^{\prime} }({\xi }{^{\prime} }{\eta }{^{\prime\prime} })-({\eta }{^{\prime} }{\xi }{^{\prime\prime} })}{\xi {({\xi }{^{\prime} 2}+{\eta }{^{\prime} 2})}^{2}},\\ h & = & \displaystyle\frac{\xi ({\eta }{^{\prime} }{\xi }{^{\prime\prime} }-{\xi }{^{\prime} }{\eta }{^{\prime\prime} })-{\eta }{^{\prime} }({\xi }{^{\prime} 2}+{\eta }{^{\prime} 2})}{2|\xi |\sqrt{{({\xi }{^{\prime} 2}+{\eta }{^{\prime} 2})}^{3}}}.\end{array}\end{eqnarray}

Wegen der Rotationssymmetrie hängen diese Größen nicht vom Drehwinkel φ ab. Gilt \begin{eqnarray}{\xi }{^{\prime} 2}+{\eta }{^{\prime} 2}=1,\end{eqnarray} d.h., ist t der Parameter der Bogenlänge auf der Kurve \((\xi (t),\eta (t)),\) so erfahren diese Ausdrücke eine beträchtliche Vereinfachung. Man erhält \(k=-{\xi }{^{\prime\prime} }/\xi \) und \begin{eqnarray}h=(\text{sign}(\xi ))({\xi }{^{\prime\prime} }{\eta }{^{\prime} }-{\xi }{^{\prime} }{\eta }{^{\prime\prime} })-{\eta }{^{\prime} }/|\eta |)/2.\end{eqnarray}

Die zu konstantem Drehwinkel φ = φ0 gehörenden Parameterlinien heißen Meridiane, und die Parameterlinien t = const Breitenkreise der Rotationsfläche. Jeder Meridian ist zur Erzeugenden kongruent. Da er im Durchschnitt der Rotationsfläche mit einer die Achse enthaltenden Ebene liegt und der Schnittwinkel ein rechter ist, ist er nach dem Satz von Joachimsthal Joachimsthal, Satz von) eine Krümmungslinie. Aus ähnlichem Grund sind die Breitenkreise Krümmungslinien.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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