Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Routh-Hurwitz-Kriterium

Hurwitz-Kriterium,Aussage über die Lage der Nullstellen eines Polynoms.

Sei \(n\in {\mathbb{N}}\)und \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\in {\mathbb{R}}\). Im folgendenwerde an : = 1 und al : = 0 für l > n gesetzt. Danngilt für das Polynom \begin{eqnarray}p(\lambda )={\lambda }^{n}+{a}_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +{a}_{1}\lambda +{a}_{0}:\end{eqnarray}

  1. Besitzen alle Nullstellen von p negative Real-teile, so sind \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\gt 0\).
  2. Gilt \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\gt 0\), so haben alle Nullstellen von p genau dann negative Realteile, falls folgende Determinante samt ihrer sämtlichen Hauptunterdeterminanten positiv ist:
\begin{eqnarray}\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{1} & {a}_{0} & 0 & \ldots & & & 0\\ {a}_{3} & {a}_{2} & {a}_{1} & {a}_{0} & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {a}_{2n-3} & {a}_{2n-4} & \ldots & & & {a}_{n} & {a}_{n-1}\end{array}\right|.\end{eqnarray}

Für n = 2 sind alle Nullstellen von p genau dann negativ, wenn a1, a2 > 0 gilt. Für n > 2 ist \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\gt 0\) nicht dafür hinreichend, daß alle Nullstellen von p negativ sind.

Die Bedeutung des Routh-Hurwitz-Kriteriums liegt darin, daß ohne explizite Berechnung der Nullstellen von p eine Aussage über ihre Vorzeichen gemacht werden kann, die z. B. bei der Untersuchungdes Stabilitätsverhaltens von Fixpunkten dynamischer Systeme herangezogen werden kann.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos