Satz in der Theorie der komplexen Räume.

Sei \((X,{{\mathcal{O}}}_{X})\) ein komplexer Raum. Für jedes \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Ideal \( {\mathcal I} \) ist das Radikalideal rad \( {\mathcal I} \), dessen Halme \({(rad {\mathcal I} )}_{x}\) die Ideale \begin{eqnarray}rad\,{ {\mathcal I} }_{x}:=\{{f}_{x}\in {{\mathcal{O}}}_{X, x},{f}_{x}^{n}\in { {\mathcal I} }_{x}\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text {r geeignetes }}n\in {\mathbb{N}}\}\end{eqnarray} sind, ebenfalls ein \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-Ideal. Der Rückertsche Nullstellensatz besagt:

Für jedes kohärente Ideal \( {\mathcal I} \subset {{\mathcal{O}}}_{X}\)ist rad \( {\mathcal I} \)das Nullstellenideal von \(A:=Tr({{\mathcal{O}}}_{X}/ {\mathcal I} )\), d. h. die kohärente Garbe mit dem kanonischen Datum [I(U), U offen in X}, wobei \begin{eqnarray}I(U):=\{{f}_{x}\in {{\mathcal{O}}}_{X}(U), f(A\mathop{\cap }\limits^{}U)=0\}.\end{eqnarray}