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Lexikon der Mathematik: Runge, Approximationssatz von

lautet:

Es sei \(K\subset {\mathbb{C}}\)eine kompakte Menge und \(D\subset {\mathbb{C}}\)eine offene Menge mit DK. Dann existiert zu jeder in D holomorphen Funktion f eine Folge (rn) rationaler Funktionen mit Polstellen in ℂ\K, die gleichmäßig auf K gegen f konvergiert. Ist P ⊂ ℂ\K eine Menge derart, daß in jeder beschränkten Zusammenhangskomponente von ℂ\K ein Punkt von P liegt, so kann die Folge (rn) so gewählt werden, daß sämtliche Polstellen in P liegen.

Die Menge P kann z. B. so gewählt werden, daß in jeder beschränkten Zusammenhangskomponente von ℂ\K genau ein Punkt von P liegt. Ist ℂ\K zusammenhängend, so besitzt ℂ\K keine beschränkten Zusammenhangskomponenten, und es ist P = ∅. In diesem Fall kann (rn) als Folge von Polynomen gewählt werden, und es ergibt sich sofort der kleine Satz von Runge (Runge, kleiner Satz von).

Weitere Aussagen zu diesem Thema sind unter dem Stichwort Runge-Theorie für Kompakta zu finden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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