Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Runge-Funktion

Funktion, die die Inflexibilität der Lagrange-Interpolation mit Polynomen hohen Grades zeigt.

Die Funktion f : [−5, 5] ↦ ℝ, definiert durch \begin{eqnarray}f(x)=\frac{1}{1+{x}^{2}},\quad x\in [-5, 5],\end{eqnarray} heißt Runge-Funktion. C. Runge betrachte 1901 Lagrange-Interpolation an f mit Polynomen vom Grad m hinsichtlich der äquidistanten Interpolationsstellen \begin{eqnarray}{t}_{i}=-5+10\frac{i}{m},\quad i=0,\ldots, m.\end{eqnarray} Dabei tritt das Phänomen auf, daß mit steigendemGrad m aufgrund von Oszillation der Fehler despolynomialen Interpolanten pm(f) am Rand des In-tervalls [−5, 5] ebenfalls ansteigt. Für |x| > 3.64 gilt:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Runge-Funktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Interpolation der Runge-Funktion (gestrichelt) an 5 (oben) und 15 (unten) Interpolationsstellen.

\begin{eqnarray}\mathop{lim}\limits_{m\to \infty }|f(x)-{p}_{m}(f)(x)|=\infty.\end{eqnarray} Im Jahr 1914 zeigte G. Faber das folgende, verall-gemeinernde Resultat.

Es sei \(a\le {t}_{0}^{(m)}\lt \ldots \lt {t}_{m}^{(m)}\le b, m\in {\mathbb{N}}\), eine Folge von Interpolationspunkten. Dann existiert eine Funktion fC[a, b] so, daß \begin{eqnarray}\mathop{lim}\limits_{m\to \infty }\sup \{|(f-{p}_{m}(f)(x)|:x\in [a, b]\}=\infty, \end{eqnarray}wobei pm(f) das eindeutige Lagrange-Interpola-tionspolynom vom Grad m von f hinsichtlich derStellen \({t}_{i}^{(m)}, i=0,\ldots, m\)ist.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Artikel zum Thema

Partnervideos