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Lexikon der Mathematik: Runge-Kutta-Methode

Klasse von Einschritt-verfahren zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form \({y}{^{\prime} }=f(x, y), y({x}_{0})={y}_{0}\).

Explizite Runge-Kutta-Methoden leiten sich mit einer äquidistanten Unterteilung \({x}_{k}={x}_{0}+kh\) mit Schrittweite h aus der zugehörigen Integralgleichung \begin{eqnarray}y({x}_{k+1})=y({x}_{k})+\mathop{\mathop{\int }\limits^{{x}_{k+1}}}\limits_{{x}_{k}}f(x, y(x))dx\end{eqnarray} durch Ersetzen des Integrals durch eine Quadraturformel her. Dazu werden s Stützstellen innerhalb des Intervalls \([{x}_{k},{x}_{k+1}]\) gewählt gemäß \begin{eqnarray}{\xi }_{1}={x}_{k},\quad{\xi }_{i}-{x}_{k}+{a}_{i}h,\quad i=2,\ldots, s.\end{eqnarray} Das Integral wird approximiert zu \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{{x}_{k+1}}}\limits_{{x}_{k}}f(x, y(x))dx\approx h\mathop{\sum ^{s}}\limits_{i=1}{c}_{i}f({\xi }_{i},{\mathop{\tilde y}\limits^{}}_{i})\end{eqnarray} mit den unbekannten Funktionswerten \begin{eqnarray}{\mathop{\tilde y}\limits^{}}_{i}:={y}_{k}+h\mathop{\sum ^{i-1}}\limits_{j=1}{b}_{ij}f({\xi }_{j},{\mathop{\tilde y}\limits^{}}_{j}).\end{eqnarray} Die Parameter ci, ai und bij werden so bestimmt, daß die s-stufige Runge-Kutta-Methode möglichst hohe Fehlerordnung p besitzt, wobei die Eindeutigkeit durch weitere Zusatzannahmen erreicht wird.

Die Koeffizienten von Runge-Kutta-Methoden werden üblicherweise in der Form

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Runge-Kutta-Methode
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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notiert. Für die klassische Runge-Kutta-Methode ergeben sich bei s = 4 z. B. die Werte

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Runge-Kutta-Methode
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Bei impliziten Runge-Kutta-Methoden werden die Stützstellen allgemeiner durch \begin{eqnarray}{\xi }_{i}={x}_{k}+{a}_{i}h,\,\, i=1,\ldots, s.\end{eqnarray} definiert (d. h., auch ξ1 ist variabel). Die Funktionswerte werden bestimmt aus \begin{eqnarray}{\mathop{\tilde y}\limits^{}}_{i}:={y}_{k}+h\mathop{\sum ^{s}}\limits_{j=1}{b}_{ij}f({\xi }_{j},{\mathop{\tilde y}\limits^{}}_{j}).\end{eqnarray} so daß in jedem Integrationsschritt ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen ist.

Unter den s-stufigen impliziten Runge-Kutta-Methoden befinden sich solche mit bestimmten Stabilitätseigenschaften, die sie für steife Differentialgleichungssysteme geeignet machen.

[1] Lambert, J.D.: Numerical methods for ordinary differential systems. John Wiley and Sons Chichester, 1991.
[2] Schwetlick, H.; Kretzschmar, H.: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig, 1991.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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