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Lexikon der Mathematik: Runge-Theorie für Kompakta

behandelt folgende Fragestellung: Gegeben sei eine kompakte Menge K ⊂ ℝ und eine auf K holomorphe Funktion f, d. h., es existiert eine offene Menge U ⊂ ℝ mit UK und eine in U holomorphe Funktion g mit g(z) = f(z) für alle zK. Weiter sei D ⊂ ℝ eine offene Menge mit DK. Existiert eine Folge (fn) von in D holomorphen Funktionen, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert?

Schon das einfache Beispiel \(K=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|=1\}, D={\mathbb{C}}\) und \(f(z)=\frac{1}{z}\) zeigt, daß dies nicht immer der Fall sein muß. Eine positive Antwort liefert der Approximationssatz von Runge (Runge, Approximationssatz von). Im folgenden wird ein konstruktiver Beweis dieses Satzes skizziert.

Zunächst wird die sog. Cauchysche Integralformel für Kompakta benötigt.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und D ⊂ ℂ eine offene Menge mit DK.

Dann existieren endlich viele verschiedene, orientierte, horizontale oder vertikale Strecken σ1,…,σn gleicher Länge in D \ K derart, daß für jede in D holomorphe Funktion f gilt \begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{\nu =1}\mathop{\int }\limits_{{a}_{\nu }}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta,\quad z\in K.\end{eqnarray}

Weiterhin gilt folgender Hilfssatz.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und σ eine orientierte Strecke inmit σK = ∅. Weiter sei h : σ → ℂ eine auf σ stetige Funktion. Dann existiert zu jedem ε > 0 eine rationale Funktion r der Form \begin{eqnarray}r(z)=\mathop{\sum ^{m}}\limits_{\mu =1}\frac{{c}_{\mu }}{z-{\omega }_{\mu }}\end{eqnarray}mit \(m\in {\mathbb{N}},{c}_{1},\ldots, {c}_{m}\in {\mathbb{C}},{w}_{1},\ldots, {w}_{m}\in {\mathbb{C}}\backslash \sigma \)derart, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left|\mathop{\displaystyle\int }\limits_{\sigma }\displaystyle\frac{h(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -r(z)\right|\lt \varepsilon,\quad z\in K.\end{array}\end{eqnarray}

Kombiniert man diesen Hilfssatz mit der Integralformel (1), so erhält man das grundlegende Approximationslemma.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und D ⊂ ℂ eine offene Menge mit DK.

Dann existieren endlich viele verschiedene, orientierte, horizontale oder vertikale Strecken σ1,…,σn gleicher Länge in D \ K mit folgender Eigenschaft : Zu jeder in D holomorphen Funktion f und zu jedem ε > 0 gibt es eine rationale Funktion r der Form \begin{eqnarray}r(z)=\mathop{\sum ^{k}}\limits_{k=1}\frac{{c}_{k}}{z-{\omega }_{k}}\end{eqnarray}mit \(k\in {\mathbb{N}},{c}_{1},\ldots, {c}_{k}\in {\mathbb{C}}\), und \begin{eqnarray}{\omega }_{1},\ldots, {\omega }_{k}\in {\mathbb{C}}\backslash \mathop{\mathop{\bigcup }\limits^{n}}\limits_{\nu =1}{\sigma }_{\nu }\end{eqnarray}derart, daß \begin{eqnarray}|f(z)-r(z)|\lt \varepsilon,\quad z\in K.\end{eqnarray}

Benutzt man schließlich noch den Polstellenverschiebungssatz, so liefert das Approximationslemma den Approximationssatz von Runge.

Eine Verschärfung dieses Ergebnisses liefert der Hauptsatz der Runge-Theorie.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und D ⊂ ℂ eine offene Menge mit DK. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Zu jeder auf K holomorphen Funktion f existiert eine Folge (fn) von in D holomorphen Funktionen, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert.
  • Zu jeder auf K holomorphen Funktion f existiert eine Folge (rn) rationaler Funktionen ohne Polstellen in D, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert.
  • Die Menge D \ K besitzt keine in D relativkompakte Zusammenhangskomponente.
  • In jeder beschränkten Komponente von ℂ \ K liegt ein Punkt von ℂ \ D.
  • Zu jedem z0D \ K gibt es eine in D holomorphe Funktion h mit |h(z0)| > |h(z)| für alle zK.
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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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