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Lexikon der Mathematik: Rungesche Hülle

wie folgt definierter Begriff aus der Funktionentheorie.

Es seien D, D′ ⊂ ℂ offene Mengen mit DD′, RD die Vereinigung aller kompakten Zusammenhangskomponenten von D′\D, und \(\mathop{\tilde D}\limits^{}:=D\mathop{\cup }\limits^{}{R}_{D}\). Dann heißt \(\mathop{\tilde D}\limits^{}\) die Rungesche Hülle von D bezüglich D′. Es ist \(\mathop{\tilde D}\limits^{}\) eine offene Menge, \(\mathop{\tilde D}\limits^{}\subset {D}{^{\prime} }\), und \({D}{^{\prime} }\backslash \mathop{\tilde D}\limits^{}\) enthält keine kompakte Zusammenhangskomponente.

Es ist \((\mathop{\tilde D}\limits^{},{D}{^{\prime} })\) stets ein Rungesches Paar. Weiter gilt \(\mathop{\tilde D}\limits^{}=D\) genau dann, wenn (D, D′) ein Rungesches Paar ist. Für jedes Rungesche Paar (E, D′) mit DE gilt \(\mathop{\tilde D}\limits^{}\subset E\).

Es sei \({\mathcal{S}}\) die Menge aller Zyklen γ in D, die in D′ nullhomolog sind, d. h. Int γ ⊂ D′. Dann gilt \begin{eqnarray}\mathop{\tilde D}\limits^{}=\mathop{\cup }\limits_{\gamma \in S}\text{Int}\,\gamma.\end{eqnarray} Hieraus erhält man den Satz von Behnke-Stein, der eine homologische Charakterisierung Rungescher Paare liefert:

Es ist (D, D′) ein Rungesches Paar genau dann, wenn jeder Zyklus γ in D, der in Dnullhomolog ist, schon in D nullhomolog ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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