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Lexikon der Mathematik: Rungesches Paar

Paar (D, D′) von offenen Mengen D, D′ ⊂ ℂ mit DD′ und folgender Eigenschaft: Zu jeder in D holomorphen Funktion f existiert eine Folge (fn) von in D′ holomorphen Funktionen, die in D kompakt konvergent (kompakt konvergente Folge) gegen f ist.

Rungesche Paare können wie folgt charakterisiert werden.

Es seien D, D′ ⊂ ℂ offene Mengen mit DD′. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Es ist (D, D′) ein Rungesches Paar.
  • Die Menge D′\D besitzt keine kompakte Zusammenhangskomponente.
  • Zu jeder in D holomorphen Funktion f existiert eine Folge (rn) rationaler Funktionen ohne Polstellen in D′, die in D kompakt konvergent gegen f ist.
  • Ist \({{\mathbb{E}}}^{* }=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt |z|\lt 1\}\) und \({{\mathbb{C}}}^{* }={\mathbb{C}}\backslash \{0\}\), so ist \(({{\mathbb{E}}}^{* },{{\mathbb{C}}}^{* })\) ein Rungesches Paar, jedoch nicht \(({{\mathbb{E}}}^{* },{\mathbb{C}})\).

    Für eine weitere Charakterisierung Rungescher Paare siehe Rungesche Hülle.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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