Begriff aus der Approximationstheorie.

Eine Folge {L_n} linearer Operatoren heißt saturiert, wenn es eine in gewissem Sinne optimale Approximationsordnung für Funktionen aus einer vorgegebenen Klasse durch {L_n} gibt, so daß Ausnahmen (d. h. eine bessere Approximation) nur für sehr spezielle Funktionen, beispielsweise Konstanten, existieren.

Wir geben die exakte Definition für einen instruktiven Spezialfall: Vorgegeben sei eine Folge {L_n} linearer Operatoren, die einen linearen Funktionenraum C (beispielsweise trigonometrische Summen) auf sich selbst abbilden, und eine auf den natürlichen Zahlen definierte positive Funktion ψ(n) mit folgender Eigenschaft: Gilt für eine Funktion f \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{\Vert f-{L}_{n}(f)\Vert }{\psi (n)}=0,\end{eqnarray} so ist f eine Konstante. Weiterhin möge mindestens eine nicht konstante Funktion g ∈ C existieren, so daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\Vert f-{L}_{n}(f)\Vert =O(\psi (n))\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,n\to \infty\end{array}\end{eqnarray} (Landau-Symbole).

Dann heißt die Folge {L_n} saturiert, und die Menge aller Funktionen g, für die (1) erfüllt ist, heißt die Saturationsklasse von {L_n} bzgl. ψ.