Eigenschaft gewisser algebraischer Strukturen, zu deren Definition einige Vorbemerkungen erforderlich sind.

Es sei \({\mathscr{A}}\) eine L-Struktur mit der Trägermenge A, L(A) die Erweiterung der elementaren Sprache L, die aus L dadurch entsteht, daß für jedes Element a ∈ A ein Individuenzeichen \(\mathop{a}\limits_{\_}\) zu L hinzugenommen wird, und es sei L_x(A) die Menge aller Ausdrücke aus L(A) mit genau der freien Variablen x.

Eine Teilmenge Σ(x) ⊆ L_x(A) heißt 1-Typ über \({\mathscr{A}}\), wenn es eine elementare Erweiterung \({\mathscr{B}}\succ {\mathscr{A}}\) und ein Element b aus der Trägermenge von \({\mathscr{B}}\) gibt, so daß für jedes ϕ(x) ∈ Σ(x) die Aussage ϕ(b) in \({\mathscr{B}}\) gültig ist. In diesem Fall ist der Typ Σ(x) in \({\mathscr{B}}\) realisierbar (oder durch b realisiert). Ist κ eine Kardinalzahl und \({\mathscr{A}}\) eine L-Struktur, dann heißt \({\mathscr{A}}\)κ-saturiert, wenn für jede Teilmenge M ⊆ A, deren Mächtigkeit |M| kleiner als κ ist, gilt: Alle 1-Typen über \({\mathscr{A}}\), die nur Individuenzeichen \(\mathop{a}\limits_{\_}\) für Elemente a ∈ M enthalten, sind in \({\mathscr{A}}\) realisiert. \({\mathscr{A}}\) ist saturiert, falls \({\mathscr{A}}\)κ-saturiert ist für κ = |A|.

Saturierte Strukturen sind von besonderem Interesse, da sich in sie möglichst viele Modelle elementar einbetten lassen. Ist z. B. \({\mathscr{A}}\) eine abzählbar unendliche saturierte Struktur, dann ist jede abzählbare und zu \({\mathscr{A}}\) elementar äquivalente Struktur \({\mathscr{B}}\) in \({\mathscr{A}}\) elementar einbettbar. Ein treffendes Beispiel hierfür ist der abzählbare algebraisch abgeschlossene Körper K (fixierter Charakteristik), der über dem Primkörper einen unendlichen Transzendenzgrad besitzt. Alle abzählbaren algebraisch abgeschlossenen Körper (gleicher Charakteristik) sind dann in K elementar einbettbar.